開区間と閉区間

概要

区間の概念は、数学的な研究や実世界の問題解決において重要な役割を果たす。
定積分の定義域として使用され、関数の連続性や微分可能性を議論する時の基礎となる。

開区間および閉区間の違いは、連続性や位相の概念を考える時に重要である。

閉区間は、"閉じている"という性質を持ち、全ての極限点を含む。
開区間は、"開いている"という性質を持ち、極限点を含まない。

閉区間はコンパクトという重要な性質を持ち、閉区間内のどのような数列も必ず収束点を持つということを意味する。
この性質は、関数の最大値・最小値の存在を証明する時に重要な役割を果たす。

また、位相空間においては、閉区間は閉集合、開区間は開集合の典型的な例として扱われる。
開集合は、任意の点の周りに十分小さな近傍が存在するという性質を持ち、連続関数の定義や位相空間の理論において基礎となる。

応用例として、ある製品の許容範囲を考えた場合、製品の重量が2kg以上5kg以下という場合は閉区間[2, 5]で表現される。
2kgより大きく5kgより小さいという場合は開区間(2, 5)で表現される。

また、区間の組み合わせとして半開区間[a, b)や(a, b]も存在するが、これらは一方の端点のみを含む区間である。

開区間

開区間(a, b)とは、点aから点bまでの区間であるが、両端の点a, bは含まない区間を指す。

例えば、開区間(2, 5)は、2より大きく5より小さい全ての実数を含む。
つまり、2と5は含まれない。

$x\in (a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}$

例:

開区間(2, 5)には、3, 4, 2.5, 4.99は含まれるが、2と5は含まれない。

閉区間

閉区間[a, b]とは、点aから点bまでの区間で、両端の点a, bを含む区間を指す。

例えば、閉区間[2, 5]は2以上5以下の全ての実数を含む。
つまり、2と5も含まれる。

$x\in [a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}$

例:

閉区間[2, 5]には、2, 3, 4, 5, 2.5, 4.99も含まれる。

例えば、ロルの定理では、関数は閉区間[a, b]全体で連続である必要がある、微分可能性は開区間(a, b)でのみ要求される。
これは、関数の端点では微分可能である必要がないことを意味する。