線形代数の基礎 - 行列の基本変形・rank・行列式の求め方

概要

ここでは、行列の基本変形の意味とその応用(rankや行列式の求め方)について記載する。

行基本変形

以下の3つの操作を行基本変形という。

• 操作 1 : i行目とj行目を交換する。
• 操作 2 : i行目をc倍する。(c≠0)
• 操作 3 : j行目のc倍をi行目に加える。

列基本変形

行の場合と同様に、以下の3つの操作を列基本変形という。

• 操作 1 : i列目とj列目を交換する。
• 操作 2 : i列目をc倍する。(c≠0)
• 操作 3 : j列目のc倍をi列目に加える。

列基本変形は、正則行列を右から乗算することに対応している。(行基本変形の場合と同様に説明できる)

行基本変形と正則行列

行基本変形は、正則行列を左から乗算することに対応している。
操作1から順に説明していく。

操作 1
単位行列のi行とj行を交換した行列P(i, j)を左から乗算することに対応している。

例えば、$P(2,3)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$を3×3の行列${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$に左から乗算すると、${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}$となり、
2行目と3行目が交換される。
なお、P(i,j)の行列式は、−1なので正則である。

操作2
単位行列のii成分をcとした行列P(i;c)を左から乗算することに対応している。
例えば、$P(2;6)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$を${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$に左から乗算すると、${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\6a_{21}&6a_{22}&6a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$となり、2行目が6倍される。
なお、P(i;c)の行列式はcなので正則である。

操作3
単位行列のij成分をcとした行列P(i,j;c)を左から乗算することに対応している。
例えば、$P(2,3;6)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&6\\0&0&1\end{pmatrix}}$を${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$に左から乗算すると、${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+6a_{31}&a_{22}+6a_{32}&a_{23}+6a_{33}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$となり、
3行目の6倍が2行目に加算される。
なお、P(i,j;c)の行列式は1なので正則である。

行基本変形でrankを求める

与えられた行列に対して、行基本変形を繰り返す(適当な正則行列を左から乗算する)ことで、下図のような階段形にすることができる。

正則行列を乗算してもrankは変わらないので、この階段形の行列のrankは元の行列のrankと一致する。
そして、階段形の行列のrankは一瞬で求まる。(0でない成分がある行の数)

行基本変形で行列式を求める

与えられた正方行列Aに対して、行基本変形を繰り返す(適当な正則行列Sを左から乗算する)ことで、階段形R(上三角行列)にすることができる。
つまり、$SA=R$である。
したがって、$detSdetA=detR$であり、

• detRは、対角成分の積で簡単に求まる。
• detSも、変形の過程を見れば分かる。(操作2のcの積)

ので、detAが求まる。

備考 : 上三角行列と下三角行列

n×nの正方行列$A=a_{ij}$に於いて、
$i>j$ならば$a_{ij}=0$を満たす行列を上三角行列
$i<j$ならば$a_{ij}=0$を満たす行列を下三角行列
という。

上三角行列は、対角成分よりも下側の成分が0である行列である。
3×3の例 : $U={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}}$

下三角行列は、対角成分よりも上側の成分が0である行列である。
3×3の例 : $L={\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$

上三角行列と下三角行列を総称して三角行列とよぶ。

行列の性質

単位行列の行列式

$\det E=1$

$|E|={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=1$

交代性

$\det(a,b)=-\det(b,a)$

$A=(a,b)={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}}=-2$

多重線形性

$\det(a_{1}+a_{2},b)=\det(a_{1},b)+\det(a_{2},b)$
$\det(ka,b)=k\times \det(a,b)$

$|A|={\begin{vmatrix}2&0&3\\2&1&0\\2&1&2\end{vmatrix}}=2\times {\begin{vmatrix}1&0&3\\1&1&0\\1&1&2\end{vmatrix}}=4$