第7回 - ベイズの定理

概要

推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。

1. 条件付き確率
2. ベイズの定理

条件付き確率

条件付き確率とは、2個の事象AとBがあるとき、既に事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる確率を条件付き確率P(B|A)という。
P(B|A)
P(左 : 合わせて起きる事象 | 右 : 既に起きた事象)

条件付き確率の式(事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる条件付き確率)は、次式で表される。
$P(B|A)={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}={\frac {\frac {n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac {n(A)}{n(U)}}}={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$
$P(A\cap B)=P(B|A)\times P(A)$

条件付き確率P(B|A)と同時確率P(A∩B)の違い

• 条件付き確率P(B|A)

  全事象をAのみとしている。

  つまり、事象Aが起きた場合の中で、さらに事象Bも起きる確率P(B|A)を考える。

  
  

• 同時確率P(A∩B)

  全事象をUとしている。

  つまり、事象Aが起きた場合のみに限定せず、A以外が起きる場合も合わせた上で事象AとBが同時に起きる確率を考える。

ベイズの定理

以下に、ベイズの定理の導出過程を示す。

条件付き確率の計算式の2式
${\begin{cases}P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}\\P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{cases}}$

上式より、次式が求まる。
${\begin{cases}P(A\cap B)=P(B|A)\times P(A)\\P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)\end{cases}}$

さらに、上式をまとめると次式となる。
${\begin{aligned}P(A|B)\times P(B)&=P(B|A)\times P(A){\mbox{ よ り }}\\P(A|B)&={\frac {P(B|A)\times P(A)}{P(B)}}\end{aligned}}$

あるいは下図に示すように、事象Aが起こるという条件のもとで、K種類の事象(これらは互いに排反とする)が起きる時、
事象Aが起きるという条件のもとで、事象B_iが起きる条件付き確率は、次式から求められる。
$P(B_{i}|A)={\frac {P(A\cap B_{i})}{P(A)}}={\frac {P(A|B_{i})\times P(B_{i})}{P(A)}}$

また、$P(A)=P(A\cap B_{1})+P(A\cap B_{2})\cdots +P(A\cap B_{K})$である。
これは、上図のそれぞれの事象における赤い事象Aの部分を足し合わせたものだと考えることができる。
${\begin{aligned}P(B_{i}|A)&={\frac {P(A|B_{i})\times P(B_{i})}{P(A)}}\\&={\frac {P(A|B_{i})\times P(B_{i})}{P(A\cap B_{1})+P(A\cap B_{2})\cdots +P(A\cap B_{K})}}\\&={\frac {P(A|B_{i})\times P(B_{i})}{\sum _{i=1}^{K}P(B_{i})P(A|B_{i})}}\end{aligned}}$

ベイズの定理とは、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A|B)が分かっている場合において、
逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B|A)を与えるものである。

ベイズの定理の例

あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。
ここで、検出したを$A$、癌であるを$B$、癌ではないを${\bar {B}}$とする。

• 癌である被験者を検査して、癌と検出した確率

  P(検出した | 癌である) = 0.9

  $P(A|B)=0.9$

• 癌ではない被験者を検査して、癌と検出した確率

  P(検出した | 癌ではない) = 0.1

  $P(A|{\bar {B}})=0.1$

• 癌である確率

  P(癌である) = 0.001

  $P(B)=0.001$

• 癌ではない確率

  P(癌ではない) = 0.999

  $P({\bar {B}})=0.999$

この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである|検出した)を求めよ。

検査装置が"検出した"事象には、"本当にガン"場合と"ガンでない"場合の両方が含まれる。
そのため、"検出した"事象(下図の赤枠)を全体事象とみなす時、"本当に癌である"である確率を求める。

以下に、求める手順を示す。

1. "検出した、かつ、癌である" $P(A\cap B)$の確率を求める。

   P(検出した ∩ 癌である) = P(検出した | 癌である) × P(癌である)

   $P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

2. "検出した"事象(上図の赤枠)の範囲の確率を求める。

   P(検出した) $=P(B)$

3. P(癌である | 検出した)を求める。

   P(癌である | 検出した) = P(検出した ∩ 癌である) / P(検出した)

   $P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

ベイズの定理より、下式を求める。
P(癌である | 検出した) = P(検出した | 癌である) × P(癌である) / P(検出した)
$P(B|A)={\frac {P(A|B)\times P(B)}{P(A)}}$

まず、P(検出した ∩ 癌である)を求める。
${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)\times P(B)\\&=0.9\times 0.001\\&=0.0009\end{aligned}}$

次に、P(検出した)の確率の値は無いため、和事象の確率の公式を用いて求める。
P(検出した) = P(検出した ∩ 癌である) + P(検出した ∩ 癌ではない)
= P(検出した | 癌である) × P(癌である) + P(検出した | 癌ではない) × P(癌ではない)
${\begin{aligned}P(A)&=P(A\cap B)+P(A\cap {\bar {B}})\\&=P(A|B)\times P(B)+P(A|{\bar {B}})\times P({\bar {B}})\\&=0.9\times 0.001+0.1\times 0.999\\&=0.1008\end{aligned}}$

最後に、P(癌である | 検出した)の確率を求める。
${\begin{aligned}P(B|A)&={\frac {P(A|B)\times P(B)}{P(A)}}\\&={\frac {P(A|B)\times P(B)}{P(A|B)\times P(B)+P(A|{\bar {B}})\times P({\bar {B}})}}\\&={\frac {0.9\times 0.001}{0.9\times 0.001+0.1\times 0.999}}\\&={\frac {0.0009}{0.1008}}\\&=0.008928\cdots \\&\cong 0.00893\end{aligned}}$

したがって、検査装置の検査結果が癌と検出した場合であっても、実際に癌である確率は、P(癌である | 検出した) ≅ 0.00893しかない。

では、P(癌である | 検出した)の確率が十分に高くするには、検査装置の性能はどうあればよいかを考える。(例 : 0.9)
例えば、P(検出した | 癌である) = 0.9999、P(検出した | 癌ではない) = 0.0001とする時、以下の値となる。
${\begin{aligned}P(B|A)&={\frac {P(A|B)\times P(B)}{P(A)}}\\&={\frac {P(A|B)\times P(B)}{P(A|B)\times P(B)+P(A|{\bar {B}})\times P({\bar {B}})}}\\&={\frac {0.9999\times 0.001}{0.9999\times 0.001+0.0001\times 0.999}}\\&={\frac {0.0009999}{0.0010998}}\\&=0.909165\cdots \\&\cong 0.90917\end{aligned}}$

したがって、P(癌である) = 0.001のような癌に罹る確率が低い時は、癌患者に対する検査装置の結果が癌と検出する確率は、
P(検出した | 癌である) = 0.9999と非常に高い確率でなくてはならない。