第3回 - 2変数間の相関

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概要

記述統計において、2変数間の相関を表すために、次の事項を学習する。

散布図と相関関係
2変数間の相関 - 相関係数で定量化
2変数間の相関の注意点

散布図と相関関係

2変数xとyの組(x, y)について、横軸にx、縦軸にyを取り、データ点としてプロットしたものを散布図という。

散布図上の点の分布が「直線関係」に近い傾向があるとき、「相関関係がある」という。

散布図で相関関係があるとき、2変数xとyの間には、何らかの関係があると考えられる。
今までは散布図を見て、感覚的にxとyの間に関係があると考えてきたが、記述統計学では、相関関係を定量的に取り扱うことができる。

2変数間の相関

2変数を並べたデータについて、横軸を変数X、縦軸を変数Yとして散布図を書くと、

Xが増加するとYも増加する場合
正の相関
Xが増加するとYが減少する場合
負の相関
Xが増加してもYに影響が無い場合
無相関(当てはめた直線の傾き=0も含む)

2変数間の相関について数値化できる。 ⇒ 相関係数で表現できる。

共分散
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}

各変数の母分散
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^{2}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N (y_i - \bar y)^{2}}

相関係数(ピアソンの積率相関係数)
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r_{xy} = \frac{C_{xy}}{\sqrt{\sigma_{x}^{2}} \sqrt{\sigma_{y}^{2}}}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -1 \le r_{xy} \le 1}

相関係数は、2変数が直線に乗る程度を表す。絶対値が1に近いほど、2変数間の相関が強い。
$r_{xy}=1$ : 正の完全相関
データ点が正の傾きの直線上に乗る。

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle r_{xy}=-1} : 負の完全相関
データ点が負の傾きの直線上に乗る。

2変数の相関係数を計算するだけでは不十分である。必ず散布図を書いて、実際に目で見てみることが重要である。

相関係数の値と散布図
相関係数の値が大きくとも、データ点数が少ないと目で見た場合に相関がなさそうな場合がある。

同じ相関係数の値を示す異なる散布図

共分散

共分散とは

共分散は、2つの変数の関連性を示す統計量であり、2変数が平均からどのように同時に変動するかを表す。
$C(X,Y)={\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})=E[(X-\mu _{x})(Y-\mu _{y})]$

X、Yは2つの変数
構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mu _{x}} はXの母平均
$\mu _{y}$ はYの母平均
Eは期待値

正の共分散は、一方の変数が平均より大きくなる時、もう一方の変数も平均より大きくなる傾向がある。
負の共分散は、一方の変数が平均より大きくなる時、もう一方の変数は平均より小さくなる傾向がある。
共分散が0の場合は、2つの変数の間に線形の関連性が無いことを表す。

ただし、共分散には単位の問題がある。
例えば、身長 (cm) と体重 (kg) の共分散を取ると、その値の単位は[cm]✕[kg]となり、解釈が難しい。
そのため、実務では単位に依存しない相関係数 (共分散を各変数の標準偏差で割ったもの) が一般的に使用される。

以下に示すデータにおいて、下図に示すように正の共分散を持つ。
散布図から分かるように、xの値が大きくなるとyの値も大きくなる傾向がある。
計算された共分散の値が正であることは、この2変数間に正の線形関係があることを示している。

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{6}=1,2,3,4,5,6}
$y_{1},y_{2},\cdots ,y_{6}=2,4,5,7,8,9$

共分散の意味

2変数の両平均値の点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\bar x, \bar y)} から見て、各データ点構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{i},y_{i})} が、正の傾きの方向または負の傾きの方向に偏っているかを構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)} で計算した後、
全データ点の傾向を構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)} の平均値で表しているといえる。

データの標準化

データの平均x、標準偏差s_xであるとき、データを加工して、平均を0、標準偏差を1に変換することを標準化という。

元のデータx_iを標準化したデータu_iにするには、以下のように変換する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u_{i} = \frac{(x_{i} - \bar x)}{s_{x}}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox { 標準化データ } = \frac{(\mbox { 元データ } - \mbox { 平均 } \, )}{\mbox { 標準偏差 }}}

相関係数の計算で、2変数(x, y)を標準化(平均を0、標準偏差を1)したものの共分散を計算すると、それが相関係数になる。

変数xとyの標準化
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u_{xi} = \frac{(x_{i} - \bar x)}{s_{x}}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u_{yi} = \frac{(y_{i} - \bar y)}{s_{y}}}
標準化したxとyの共分散を計算すると、相関係数に等しい。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C_{ux uy} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^N (u_{xi} - \bar u_{x})(u_{yi} - \bar u_{y})}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^N u_{xi} u_{yi}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^N \frac{(x_{i} - \bar x)}{s_{x}} \frac{(y_{i} - \bar y)}{s_{y}}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{V_x} \sqrt{V_y} }}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = r_{xy}}

2変数間の相関での注意点

2変数の相関を検討するときは、必ず散布図を書くこと。散布図のチェックポイントは以下の通りである。

2次元正規分布と見なせるか？
相関関係は、正か負か？
直線関係か? 曲線関係か？
異常な点(外れ値)はないか？
層別する必要はないか？(層別は、異なるグループを分けて散布図を書くこと)

例題 : 相関分析

ある5人の身長と体重のデータについて、相関分析を行なう。

身長(cm)	体重(kg)
150.2	56.4
155.0	52.9
163.5	72.2
172.1	68.1
178.6	79.7

身長の平均
163.9 [cm]
体重の平均
65.9 [kg]
身長の母分散
110.1 [cm²]
体重の母分散
99.3 [kg²]
身長の母標準偏差
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{110.1} = 10.5 \mbox {[cm]}}
体重の母標準偏差
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{99.3} = 10.0 \mbox {[kg]}}
身長と体重の共分散
93.1 [cm・kg]
相関係数
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle r_{xy} = \frac{93.1}{10.5 \times 10.0} = 0.890}