畳み込み積分

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概要

次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。

この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y(t) = f(t)*g(t) \, \,} あるいは構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \, \, y = f * g} と記述されることもある。

また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} y(t) &= f * g = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau \\ &= \int_{\infty}^{- \infty} {f(t - u)g(u)} (-1) du \quad \because u = t - \tau, \quad -du = d \tau \\ &= \int_{- \infty}^{\infty} {g(u)f(t - u)} du \\ &= g * f \end{align} }

システムの安定性

BIBO安定条件
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | x(t) | < M \Longrightarrow | y(t) | < N}

因果性システムの線形時不変の場合、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int_0^{\infty} | g(t) | dt < \infty} で安定する。

畳み込み積分の計算例

下図に示す系があるとする。

入力関数 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0}
応答関数 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y(t) = \int_0^t {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau} より、

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t < 0} の時
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(\tau)} と構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(t - \tau)} の重なる部分が無いため、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y(t) = 0}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 1} の時
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} y(t) &= \int_0^1 {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau \\ &= \int_0^1 {f(\tau) g(1 - \tau)} d \tau \\ &= \int_0^1 {2(1 - \frac{1}{5} + \frac{\tau}{5})} d \tau \\ &= 2 \left[ \frac{4}{5} \tau + \frac{\tau^2}{10} \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{10} \right) \\ &= \frac{9}{5} \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 5} の時
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} y(t) &= \int_0^5 {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau \\ &= \int_0^5 {f(\tau) g(5 - \tau)} d \tau \\ &= \int_0^5 {2(1 -1 + \frac{\tau}{5})} d \tau \\ &= 2 \left[ \frac{\tau^2}{10} \right]_0^5 \\ &= 2 \frac{5}{2} \\ &= 5 \end{align} }

$0\leq t\leq 5$ の時
${\begin{aligned}y(t)&=\int _{0}^{t}{2(1-{\frac {t}{5}}+{\frac {\tau }{5}})}d\tau \\&=2\left[\tau -{\frac {t}{5}}\tau +{\frac {\tau ^{2}}{10}}\right]_{0}^{t}\\&=2\left(t-{\frac {t^{2}}{5}}+{\frac {t^{2}}{10}}\right)\\&=2t-{\frac {t^{2}}{5}}\end{aligned}}$

下図に、畳み込み積分の出力波形を示す。

${\begin{cases}y(t)&=0\quad \cdots \quad t<0\\y(t)&=2t-{\frac {t^{2}}{5}}\quad \cdots \quad 0\leq t\leq 5\\y(t)&=5\quad \cdots \quad t>0\end{cases}}$