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「畳み込み積分」の版間の差分
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== 概要 == | == 概要 == | ||
次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。<br> | 次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。<br> | ||
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この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。<br> | この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。<br> | ||
<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br> | <math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br> | ||
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<math>y(t) = f(t)*g(t) \quad \mbox{あ る い は } \quad y = f * g</math> と記述されることもある。<br> | |||
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また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。<br> | |||
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\begin{align} | |||
y(t) &= f * g = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau \\ | |||
&= \int_{\infty}^{- \infty} {f(t - u)g(u)} (-1) du \quad \because u = t - \tau, \quad -du = d \tau \\ | |||
&= \int_{- \infty}^{\infty} {g(u)f(t - u)} du \\ | |||
&= g * f | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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