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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分
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→GF(2)の3次の拡大体
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GF(2<sup>3</sup>)の原始多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の因数分解は、<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^4)</math>となる。<br> | GF(2<sup>3</sup>)の原始多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の因数分解は、<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^4)</math>となる。<br> | ||
また、GF(2)上のもう1つの3次の既約多項式<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>は、<math>g(x) = (x - \omega^3)(x - \omega^5)(x - omega^7)</math>と因数分解される。<br> | また、GF(2)上のもう1つの3次の既約多項式<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>は、<math>g(x) = (x - \omega^3)(x - \omega^5)(x - \omega^7)</math>と因数分解される。<br> | ||
したがって、GF(2)では3次の既約多項式として、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の代わりに<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>を用いても、同じ3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)が得られる。<br> | したがって、GF(2)では3次の既約多項式として、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の代わりに<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>を用いても、同じ3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)が得られる。<br> | ||
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<math>\omega^2 + 1</math>の逆元 | <math>\omega^2 + 1</math>の逆元 | ||
上表から、<math>\omega (\omega^2 + 1) = 1, \quad \omega = (\omega^2 + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega</math>である。 | 上表から、<math>\omega (\omega^2 + 1) = 1, \quad \omega = (\omega^2 + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega</math>である。 | ||
<math>\omega^2 + \omega</math>の逆元 | |||
上表から、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1, \quad \omega + 1 = (\omega^2 + \omega)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega + 1</math>である。 | |||
<math>\omega^5</math>の逆元 | |||
<math>\omega^5 = \omega^2(\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 = \omega^2 + \omega + 1</math>である。 | |||
上表から、<math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1, \quad \omega^2 = (\omega^2 + \omega + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega^2</math>である。 | |||
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例.4 | |||
ωを<math>x^3 + x + 1 = 0</math>の根とする時、次の値を<math>a + b \omega + c \omega^2 \quad (a, b, c \in GF(2))</math>の形で表す。 | |||
1. <math>\frac{\omega^2}{\omega^2 + \omega}</math> | |||
<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega}</math>は、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1</math>より、<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega} = \omega + 1 \quad \cdots (1)</math> | |||
(1)式より、<math>\frac{\omega^2}{\omega^2 + \omega} = \omega^2 (\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 = \omega^2 + \omega + 1</math>となる。 | |||
2. <math>\frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^4}</math> | |||
<math>\frac{1}{\omega^4} = \frac{1}{\omega^2 + \omega}</math>は、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1</math>より、<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega} = \omega + 1 \quad \cdots (2)</math> | |||
(2)式より、<math>\frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^4} = (\omega^2 + \omega + 1)(\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 + \omega + \omega^2 + \omega + 1 = \omega^3 + 1 = \omega</math> | |||
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