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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分
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→GF(2)の3次の拡大体
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以上のように、集合<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>は、四則に関して閉じているため、体である。<br> | 以上のように、集合<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>は、四則に関して閉じているため、体である。<br> | ||
<u>この体をGF(2<sup>3</sup>)と表し、GF(2)の3次拡大体という。<u><br> | <u>この体をGF(2<sup>3</sup>)と表し、GF(2)の3次拡大体という。</u><br> | ||
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GF(2<sup>3</sup>)の累乗表示において、<math>\omega^3 = \omega + 1, \quad \omega^4 = \omega^2 + \omega, \quad \omega^5 = \omega^2 + \omega + 1, \quad \omega^6 = \omega^2 + 1</math>となる。<br> | |||
このように、GF(2<sup>3</sup>)の要素は、ωの累乗で表されることがわかる。<br> | |||
したがって、GF(2<sup>3</sup>)は、以下の2つの表示をすることができる。<br> | |||
* <math>GF(2^3) = \{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math><br><math>\Rightarrow \{ a + b \omega + c \omega^2; a, b, c \in GF(2) \}</math> | |||
* <math>GF(2^3) = \{ 0, 1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, \omega^6 \}</math><br><math>\Rightarrow \{ 0, \omega^{i}; 0, 1, 2, \cdots, 6 \}</math> | |||
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ωはGF(2<sup>3</sup>)の原始根、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>はGF(2<sup>3</sup>)の原始多項式である。<br> | |||
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