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(→多項式) |
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* 1 + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup> | * 1 + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup> | ||
* 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup> | * 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup> | ||
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== 拡大体 == | |||
体Kが体F上を含む時、体Kを体Fの拡大体という。<br> | |||
実数体<math>\R</math>は、有理数体<math>\Q</math>の拡大体である。<br> | |||
体F上の既約多項式f(x)がある時、方程式f(x) = 0の根ωを用いて、体Fの拡大体Kを作ることができる。<br> | |||
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==== GF(2)の2次の拡大体 ==== | |||
GF(2)上の2次の既約多項式は、<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>だけである。<br> | |||
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f(x) = 0の根をωとすると、<math>\omega^2 + \omega + 1 = 0</math>が成り立つ。<br> | |||
このωを用いて、集合<math>\{a + b \omega; a, b \in GF(2)\}</math>を作ると、この集合は体となる。<br> | |||
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a、bは0か1であるから、この集合の要素は<math>\{0, 1, \omega, \omega + 1\}</math>となる。<br> | |||
この集合の任意の2要素の和もこの集合に属する。<br> | |||
また、この集合の任意の2要素の積もこの集合に属する。<br> | |||
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例.1<br> | |||
<math>\omega + \omega = \omega (1 + 1) = \omega \times 0 = 0</math>より、<math>\omega = - \omega</math>である。<br> | |||
これは、GF(2)では、<u>加えることと減ずることは同じ</u>ことを意味する。<br> | |||
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例.2<br> | |||
<math>\omega + (1 + \omega) = 1 + (\omega + \omega) = 1 + 0 = 1</math><br> | |||
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例.3<br> | |||
2次の既約多項式<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>において、f(x) = 0の根をωとすると、<math>\omega^2 + \omega + 1 = 0</math>より、<math>\omega^2 = - \omega - 1</math><br> | |||
また、<math>(\omega + 1) + (\omega + 1) = 0</math>より、<math>\omega + 1 = - \omega - 1</math><br> | |||
したがって、 <math>\omega^2 = - \omega - 1 = \omega + 1</math><br> | |||
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例.4<br> | |||
<math>\omega (1 + \omega) = \omega + \omega^2 = \omega + \omega + 1 = 0 + 1 = 1</math><br> | |||
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下表に、GF(2)の2次の拡大体の演算を示す。<br> | |||
<center> | |||
{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe; width: 300px;" | |||
|- | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 和 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 0 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 1 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | 0 | |||
| 0 || 1 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | 1 | |||
| 1 || 0 || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | |||
| <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 0 || 1 | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | |||
| <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math> || 1 || 0 | |||
|} | |||
</center> | |||
<br> | |||
<center> | |||
{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe; width:300px;" | |||
|- | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 積 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 0 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | 1 | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | |||
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | 0 | |||
| style="width:50px;" | 0 || 0 || 0 || 0 | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | 1 | |||
| 0 || 1 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | |||
| 0 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math> | |||
|- | |||
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | |||
| 0 || <math>\omega + 1</math> || 1 || <math>\omega</math> | |||
|} | |||
</center> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
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