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「回路計算 - 合成インピーダンス」の版間の差分
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== 概要 == | == 概要 == | ||
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== RL直列回路の合成インピーダンス == | |||
RL直列回路は、抵抗RとコイルLが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | |||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 5.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図.1 抵抗RとコイルLが直列接続の回路</center><br> | |||
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直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | |||
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RL直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br> | |||
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br> | |||
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* 複素数表示の場合 | |||
<math>\dot{Z} = R + j \omega L \quad [\Omega]</math><br> | |||
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<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0</math>であるため、<math>\Re(Z) = R > 0, \quad \Im(Z) = \omega L > 0</math>となり、<br> | |||
RL直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。<br> | |||
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* 合成インピーダンスの大きさの場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= R + j \omega L \\ | |||
\left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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== RC直列回路の合成インピーダンス == | |||
RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | |||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 6.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図.6 抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路</center><br> | |||
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直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | |||
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RC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br> | |||
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br> | |||
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* 複素数表示の場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= R + \frac{1}{j \omega C} \\ | |||
&= R - j \frac{1}{\omega C} \quad [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br> | |||
<math>\Re(Z) = R > 0, \quad \Im(Z) = - \frac{1}{\omega C} < 0</math>となり、<br> | |||
RC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。<br> | |||
<br> | |||
* 合成インピーダンスの大きさの場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= R + \frac{1}{j \omega C} \\ | |||
&= R - j \frac{1}{\omega C} \\ | |||
\left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + \left (\frac{1}{\omega C} \right )^2} \quad [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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== LC直列回路の合成インピーダンス == | |||
LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | |||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 3.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図.7 コイルLとコンデンサCが直列接続の回路</center><br> | |||
<br> | |||
直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | |||
<br> | |||
LC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br> | |||
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br> | |||
<br> | |||
* 複素数表示の場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\ | |||
&= j \omega L - j \frac{1}{\omega C} \\ | |||
&= j \left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \quad [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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<math>\omega \ge 0, \quad L > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br> | |||
<math>\Re(Z) = 0, \quad -\infty < \Im(Z) = - \frac{1}{\omega C} < \infty</math>となり、<br> | |||
LC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。<br> | |||
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LC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br> | |||
したがって、<math>1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br> | |||
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0</math>の場合 | |||
*: 上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。 | |||
*: <br> | |||
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} < 0</math>の場合 | |||
*: 上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。 | |||
*: <br> | |||
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math>の場合 | |||
*: 上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、複素数平面の原点Oとなる。 | |||
*: インピーダンスが0ということは、その回路は短絡状態と同じになる。 | |||
*: <br> | |||
*: また、<math>\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math> すなわち、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> は、回路の共振条件である。 | |||
<br> | |||
* 合成インピーダンスの大きさの場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\ | |||
&= j \left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \\ | |||
\left | Z \right | &= \sqrt{\left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2} \\ | |||
&= \left | \omega L - \frac{1}{\omega C} \right | \quad [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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