回路計算 - 合成インピーダンス

概要

回路の受動素子（抵抗R、コイルL、コンデンサC）が直列接続または並列接続されている場合の合成インピーダンスの計算手順を記載する。

RL直列回路の合成インピーダンス

RL直列回路は、抵抗RとコイルLが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.1 抵抗RとコイルLが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RL直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\dot {Z}}=R+j\omega L\quad [\Omega ]$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad L>0$であるため、$\Re (Z)=R>0,\quad \Im (Z)=\omega L>0$となり、
RL直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&=R+j\omega L\\\left|Z\right|&={\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

RC直列回路の合成インピーダンス

RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.2 抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&=R+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=R-j{\frac {1}{\omega C}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)=R>0,\quad \Im (Z)=-{\frac {1}{\omega C}}<0$となり、
RC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&=R+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=R-j{\frac {1}{\omega C}}\\\left|Z\right|&={\sqrt {R^{2}+\left({\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

LC直列回路の合成インピーダンス

LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.3 コイルLとコンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

LC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&=j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=j\omega L-j{\frac {1}{\omega C}}\\&=j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad L>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)=0,\quad -\infty <\Im (Z)=-{\frac {1}{\omega C}}<\infty$となり、
LC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ${\dot {Z}}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-\omega ^{2}LC>0,\quad 1-\omega ^{2}LC<0,\quad 1-\omega ^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $\omega L-{\frac {1}{\omega C}}>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• $\omega L-{\frac {1}{\omega C}}<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• $\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0$の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、複素数平面の原点Oとなる。

  インピーダンスが0ということは、その回路は短絡状態と同じになる。

  
  

  また、$\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0$ すなわち、$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&=j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)\\\left|Z\right|&={\sqrt {\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\\&=\left|\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right|\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

RLC直列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RLC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\dot {Z_{1}}}+{\dot {Z_{2}}}+{\dot {Z_{3}}}=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=R+j\omega L-j{\frac {1}{\omega C}}\\&=R+j(\omega L-{\frac {1}{\omega C}})\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad L>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)=R>0,\quad -\infty <\Im (Z)=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}<\infty$となり、
RLC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。

RLC直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、上式の虚部($\omega L-{\frac {1}{\omega C}}$)が正・負・ゼロの時、それぞれ${\dot {Z}}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$\omega L-{\frac {1}{\omega C}}>0,\quad \omega L-{\frac {1}{\omega C}}<0,\quad \omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $\omega L-{\frac {1}{\omega C}}>0$ の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。

  
  

• $\omega L-{\frac {1}{\omega C}}<0$ の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。

  
  

• $\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0$ の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(${\dot {Z}}=R[\Omega ]$)

  この条件を満たす周波数は共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの直列回路部分は短絡状態と同じになる。

  
  

  また、$\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0$ すなわち、$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\\&=R+j(\omega L-{\frac {1}{\omega C}})\\\left|Z\right|&={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

RL並列回路の合成インピーダンス

RL並列回路は、抵抗RとコイルLが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.5 抵抗RとコイルLが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RL並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\frac {1}{\dot {Z}}}&={\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}={\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}\\{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}}}\\&={\frac {j\omega RL}{R+j\omega L}}\\&={\frac {j\omega RL(R-j\omega L)}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\\&={\frac {\omega ^{2}RL^{2}+j\omega R^{2}L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\\&={\frac {\omega ^{2}RL^{2}}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}+j{\frac {\omega R^{2}L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad L>0$であるため、
$\Re (Z)={\frac {\omega ^{2}RL^{2}}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}>0,\quad \Im (Z)={\frac {\omega R^{2}L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}>0$となり、
RL並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}}}\\&={\frac {j\omega RL}{R+j\omega L}}\\\left|Z\right|&={\frac {\sqrt {(\omega RL)^{2}}}{\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}}\\&={\frac {\omega RL}{\sqrt {R^{2}+(\omega L)^{2}}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

RC並列回路の合成インピーダンス

RC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.6 抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\frac {1}{\dot {Z}}}&={\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}={\frac {1}{R}}+j\omega C\\{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+j\omega C}}\\&={\frac {R}{1+j\omega RC}}\\&={\frac {R(1-j\omega RC)}{1+(\omega RC)^{2}}}\\&={\frac {R-j\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}\\&={\frac {R}{1+(\omega RC)^{2}}}-j{\frac {\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)={\frac {R}{1+(\omega RC)^{2}}}>0,\quad \Im (Z)=-{\frac {\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}<0$となり、
RC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+j\omega C}}\\&={\frac {R}{1+j\omega RC}}\\\left|Z\right|&={\frac {\sqrt {R^{2}}}{\sqrt {1^{2}+(\omega RC)^{2}}}}\\&={\frac {R}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

LC並列回路の合成インピーダンス

LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.7 コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

LC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\frac {1}{\dot {Z}}}&={\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}={\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C\\{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C}}\\&=j{\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad L>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)=0,\quad -\infty <\Im (Z)={\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}<\infty$となり、
LC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ${\dot {Z}}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-\omega ^{2}LC>0,\quad 1-\omega ^{2}LC<0,\quad 1-\omega ^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $1-\omega ^{2}LC>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• $1-\omega ^{2}LC<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• $1-\omega ^{2}LC=0$の場合

  上式のリアクタンスが無限大になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きに無限大となる。

  インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになる。

  
  

  また、$1-\omega ^{2}LC=0$ すなわち、$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C}}\\&={\frac {j\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\\\left|Z\right|&={\frac {\sqrt {(\omega L)^{2}}}{\sqrt {1^{2}+(\omega ^{2}LC)^{2}}}}\\&=\left|{\frac {\omega L}{\sqrt {1+(\omega ^{2}LC)^{2}}}}\right|\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

RLC並列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.8 抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RLC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\frac {1}{\dot {Z}}}&={\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}+{\dot {Y_{3}}}={\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C\\{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}+{\dot {Y_{3}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C}}\\&={\frac {j\omega RL}{R+j\omega L-\omega ^{2}RLC}}\\&={\frac {j\omega RL}{R-\omega ^{2}RLC+j\omega L}}\\&={\frac {j\omega RL(R-\omega ^{2}RLC-j\omega L)}{(R-\omega ^{2}RLC)^{2}+(\omega L)^{2}}}\\&={\frac {\omega ^{2}RL^{2}+j\omega R^{2}L-j\omega ^{3}R^{2}L^{2}C}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}\\&={\frac {\omega ^{2}RL^{2}}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}+j{\frac {\omega R^{2}L-\omega ^{3}R^{2}L^{2}C}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}\\&={\frac {\omega ^{2}RL^{2}}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}+j{\frac {\omega R^{2}L(1-\omega ^{2}LC)}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad L>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)={\frac {\omega ^{2}RL^{2}}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}>0,\quad -\infty <\Im (Z)={\frac {\omega R^{2}L(1-\omega ^{2}LC)}{R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}<\infty$となり、
RLC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。

RLC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、上式の分子(特に、$1-\omega ^{2}LC$)が正・負・ゼロの時、それぞれ${\dot {Z}}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-\omega ^{2}LC>0,\quad 1-\omega ^{2}LC<0,\quad 1-\omega ^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $1-\omega ^{2}LC>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。

  
  

• $1-\omega ^{2}LC<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。

  
  

• $1-\omega ^{2}LC=0$の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(${\dot {Z}}=R[\Omega ]$)

  この条件を満たす周波数は反共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの並列回路部分は開放状態と同じになる。

  
  

  また、$1-\omega ^{2}LC=0$ すなわち、$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\frac {j\omega RL}{R+j\omega L-\omega ^{2}RLC}}\\&={\frac {j\omega RL}{R-\omega ^{2}RLC+j\omega L}}\\&={\frac {j\omega RL}{R(1-\omega ^{2}LC)+j\omega L}}\\\left|Z\right|&={\frac {\sqrt {(\omega RL)^{2}}}{\sqrt {R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}}\\&={\frac {\omega RL}{\sqrt {R^{2}(1-\omega ^{2}LC)^{2}+(\omega L)^{2}}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

例題

例題 1

下図のようなRL回路がある時、抵抗に掛かる電圧を求める。

回路のインピーダンス${\dot {Z}}$とインピーダンスの大きさ$|Z|$は、次式となる。
${\dot {Z}}=R+j\omega L=15+j20$
$|Z|={\sqrt {15^{2}+20^{2}}}=25\,[\Omega ]$

全体に流れる電流Iの大きさ$|I|$は、次式となる。
$|I|={\frac {|V|}{|Z|}}={\frac {100}{25}}=4\,[{\mbox{A}}]$

したがって、抵抗に掛かる電圧${\dot {V_{R}}}$は、次のようになる。
${\dot {V_{R}}}=|I|\times R=4\times 15=60\,[{\mbox{V}}]$となる。

インダクタに掛かる電圧${\dot {V_{L}}}$は、次のようになる。
${\dot {V_{L}}}=|I|\times j\omega L=4\times j20=j80\,[{\mbox{V}}]$となる。

電圧${\dot {V}}$および電圧の大きさ$|V|$を求める場合は、次式のように計算する。
${\dot {V}}=60+j80$ より、
$|V|={\sqrt {60^{2}+80^{2}}}=100\,[{\mbox{V}}]$ となる。

例題 2

下図のような回路がある時、各抵抗、インダクタ、コンデンサに掛かる電圧を求める。

電流I₁より、
${\begin{aligned}{\dot {V_{R1}}}&=|I_{1}|\times R_{1}=20\times 4=80\,[{\mbox{V}}]\\{\dot {V_{L}}}&=|I_{1}|\times j\omega L=20\times j3=j60\,[{\mbox{V}}]\\|E|&=|V_{1}|={\sqrt {80^{2}+60^{2}}}=100\,[{\mbox{V}}]\end{aligned}}$

電流I₂は、電源電圧100[V]と抵抗R₂およびコンデンサCのインピーダンスZ₂より、10[A]となる。
$|I_{2}|={\frac {|E|}{|Z_{2}|}}={\frac {100}{\sqrt {6^{2}+8^{2}}}}=10\,[{\mbox{A}}]$

回路に流れる全電流Iは、電源電圧Eから回路全体のインピーダンスZを除算することにより、求めることができる。
${\dot {Y_{1}}}={\frac {1}{4+j3}},\quad {\dot {Y_{2}}}={\frac {1}{6-j8}}$
${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\frac {1}{\dot {Y}}}\\&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{4+j3}}+{\frac {1}{6-j8}}}}={\frac {(4+j3)(6-j8)}{4+j3+6-j8}}={\frac {48-j14}{10-j5}}\\&={\frac {(48-j14)(10+j5)}{125}}={\frac {550+j100}{125}}={\frac {22-j4}{5}}\\&={\frac {22}{5}}-j{\frac {4}{5}}\\\left|Z\right|&={\sqrt {\left({\frac {22}{5}}\right)^{2}+\left({\frac {4}{5}}\right)^{2}}}\\&\cong 4.47\,[\Omega ]\end{aligned}}$

$|I|={\frac {|E|}{|Z|}}={\frac {100}{4.47}}\cong 22.37\,[{\mbox{A}}]$ となる。

または、次式のように求めることもできる。
$|I|={\sqrt {20^{2}+10^{2}}}=10{\sqrt {5}}\,[{\mbox{A}}]$