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→LC並列回路の合成インピーダンス
(ページの作成:「== 概要 == <br><br> == RL並列回路の合成インピーダンス == RL並列回路は、抵抗RとコイルLが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> フレームなし|中央 <center>図.1 抵抗RとコイルLが並列接続の回路</center><br> <br> 並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br> それぞれのインピー…」) |
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LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | ||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 3.png|フレームなし|中央]] | [[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 3.png|フレームなし|中央]] | ||
<center>図. | <center>図.3 コイルLとコンデンサCが並列接続の回路</center><br> | ||
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並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br> | 並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br> | ||
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<math>\omega \ge 0, \quad | <math>\omega \ge 0, \quad L > 0, \quad C > 0</math>であるため、<br> | ||
<math>\Re(Z) | <math>\Re(Z) = 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \frac{\omega L}{1 - \omega^2 LC} < \infty</math>となり、<br> | ||
LC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。<br> | LC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。<br> | ||
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\left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega L)^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega^2 LC)^2}} \\ | \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega L)^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega^2 LC)^2}} \\ | ||
&= \left | \frac{\omega L}{\sqrt{1 + (\omega^2 LC)^2}} \right | \quad [\Omega] | &= \left | \frac{\omega L}{\sqrt{1 + (\omega^2 LC)^2}} \right | \quad [\Omega] | ||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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== RLC並列回路の合成インピーダンス == | |||
RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | |||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 4.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列接続の回路</center><br> | |||
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並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br> | |||
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。<br> | |||
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RLC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、次式で与えられる。<br> | |||
なお、角周波数<math>\omega = 2 \pi f</math>である。<br> | |||
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* 複素数表示の場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} + \dot{Y_3} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} + j \omega C \\ | |||
\dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2} + \dot{Y_3}} = \frac{j \omega RL}{R + j \omega L - \omega^2 RLC} \\ | |||
&= \frac{j \omega RL}{R - \omega^2 RLC + j \omega L} \\ | |||
&= \frac{j \omega RL(R - \omega^2 RLC - j \omega L)}{(R - \omega^2 RLC)^2 + (\omega L)^2} \\ | |||
&= \frac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L - j \omega^3 R^2 L^2 C}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \\ | |||
&= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L - \omega^3 R^2 L^2 C}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \\ | |||
&= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L (1 - \omega^2 L C)}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math>\omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0</math>であるため、<br> | |||
<math>\Re(Z) = \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} > 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \frac{\omega R^2 L (1 - \omega^2 L C)}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} < \infty</math>となり、<br> | |||
RLC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。<br> | |||
<br> | |||
RLC並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の分子(特に、<math>1 - \omega^2 LC</math>)が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br> | |||
したがって、<math>1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br> | |||
* <math>1 - \omega^2 LC > 0</math>の場合 | |||
*: 上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。 | |||
*: <br> | |||
* <math>1 - \omega^2 LC < 0</math>の場合 | |||
*: 上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。 | |||
*: <br> | |||
* <math>1 - \omega^2 LC = 0</math>の場合 | |||
*: 上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(<math>\dot{Z} = R [\Omega]</math>) | |||
*: この条件を満たす周波数は反共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの並列回路部分は開放状態と同じになる。 | |||
*: <br> | |||
*: また、<math>1 - \omega^2 LC = 0</math> すなわち、<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math> は、回路の共振条件である。 | |||
<br> | |||
* 合成インピーダンスの大きさの場合 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L - \omega^2 RLC} \\ | |||
&= \frac{j \omega RL}{R - \omega^2 RLC + j \omega L} \\ | |||
&= \frac{j \omega RL}{R (1 - \omega^2 LC) + j \omega L} \\ | |||
\left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega RL)^2}}{\sqrt{R^2 (1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2}} \\ | |||
&= \frac{\omega RL}{\sqrt{R^2 (1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2}} \quad [\Omega] | |||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||