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「線形代数の基礎 - 行列の基本変形・rank・行列式の求め方」の版間の差分
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(ページの作成:「== 概要 == <br><br> __FORCETOC__ カテゴリ:線形代数」) |
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== 概要 == | == 概要 == | ||
ここでは、行列の基本変形の意味とその応用(rankや行列式の求め方)について記載する。 | |||
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== 行基本変形 == | |||
以下の3つの操作を行基本変形という。<br> | |||
* 操作 1 : i行目とj行目を交換する。 | |||
* 操作 2 : i行目をc倍する。(c≠0) | |||
* 操作 3 : j行目のc倍をi行目に加える。 | |||
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== 列基本変形 == | |||
行の場合と同様に、以下の3つの操作を列基本変形という。<br> | |||
* 操作 1 : i列目とj列目を交換する。 | |||
* 操作 2 : i列目をc倍する。(c≠0) | |||
* 操作 3 : j列目のc倍をi列目に加える。 | |||
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列基本変形は、正則行列を右から乗算することに対応している。(行基本変形の場合と同様に説明できる)<br> | |||
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== 行基本変形と正則行列 == | |||
行基本変形は、正則行列を左から乗算することに対応している。<br> | |||
操作1から順に説明していく。<br> | |||
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'''操作 1'''<br> | |||
単位行列のi行とj行を交換した行列P(i, j)を左から乗算することに対応している。<br> | |||
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例えば、<math>P(2,3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>を3×3の行列<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>に左から乗算すると、<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}</math>となり、<br> | |||
2行目と3行目が交換される。<br> | |||
なお、P(i,j)の行列式は、−1なので正則である。<br> | |||
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'''操作2'''<br> | |||
単位行列のii成分をcとした行列P(i;c)を左から乗算することに対応している。<br> | |||
例えば、<math>P(2;6) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>を<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>に左から乗算すると、<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 6a_{21} & 6a_{22} & 6a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>となり、2行目が6倍される。<br> | |||
なお、P(i;c)の行列式はcなので正則である。<br> | |||
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'''操作3'''<br> | |||
単位行列のij成分をcとした行列P(i,j;c)を左から乗算することに対応している。<br> | |||
例えば、<math>P(2,3;6) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>を<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>に左から乗算すると、<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + 6a_{31} & a_{22} + 6a_{32} & a_{23} + 6a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>となり、<br> | |||
3行目の6倍が2行目に加算される。<br> | |||
なお、P(i,j;c)の行列式は1なので正則である。<br> | |||
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== 行基本変形でrankを求める == | |||
与えられた行列に対して、行基本変形を繰り返す(適当な正則行列を左から乗算する)ことで、下図のような階段形にすることができる。<br> | |||
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正則行列を乗算してもrankは変わらないので、この階段形の行列のrankは元の行列のrankと一致する。<br> | |||
そして、階段形の行列のrankは一瞬で求まる。(0でない成分がある行の数)<br> | |||
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== 行基本変形で行列式を求める == | |||
与えられた正方行列Aに対して、行基本変形を繰り返す(適当な正則行列Sを左から乗算する)ことで、階段形R(上三角行列)にすることができる。<br> | |||
つまり、<math>SA = R</math>である。<br> | |||
したがって、<math>detS detA = detR</math>であり、<br> | |||
* detRは、対角成分の積で簡単に求まる。 | |||
* detSも、変形の過程を見れば分かる。(操作2のcの積) | |||
ので、detAが求まる。<br> | |||
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'''備考 : 上三角行列と下三角行列'''<br> | |||
n×nの正方行列<math>A = a_{ij}</math>に於いて、 | |||
<math>i > j</math>ならば<math>a_{ij} = 0</math>を満たす行列を上三角行列 | |||
<math>i < j</math>ならば<math>a_{ij} = 0</math>を満たす行列を下三角行列 | |||
という。 | |||
<br> | |||
上三角行列は、対角成分よりも下側の成分が0である行列である。<br> | |||
3×3の例 : <math>U = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}</math><br> | |||
<br> | |||
下三角行列は、対角成分よりも上側の成分が0である行列である。<br> | |||
3×3の例 : <math>L = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math><br> | |||
<br> | |||
上三角行列と下三角行列を総称して三角行列とよぶ。<br> | |||
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