応用数学 - 1階常微分方程式

概要

1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。

• 変数分離形微分方程式
• 同次形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• ベルヌーイ形微分方程式
• 完全微分方程式

${\frac {dy}{dx}}$の扱い

以下の命題は、${\frac {dy}{dx}}$ は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。

命題1.
$\int {\left(g(y){\frac {dy}{dx}}\right)dx}=\int {g(y)dy}$

証明.
$y=\phi (x)$ とおいて、両辺をxで微分すると、${\frac {dy}{dx}}={\frac {d\phi }{dx}}$
置換積分の公式より、$\int {g(y)dy}=\int {g(\phi (x)){\frac {d\phi }{dx}}dx}$
$y=\phi (x)$ より、
$\int {g(\phi (x)){\frac {d\phi }{dx}}dx}=\int {\left(g(y){\frac {dy}{dx}}\right)dx}$

命題2.
$g(y)dy=f(x)dx\Rightarrow \int {g(y)dy}=\int {f(x)dx}$

証明.
$g(y)dy=f(x)dx$ の両辺をdxで除算して、本来の記号 ${\frac {dy}{dx}}$ に戻すと次式となる。
$g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$

両辺をxで積分すると次式となる。
$\int {g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)dx}=\int {f(x)dx}$

左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
$\int {g(y)dy}=\int {f(x)dx}$

命題3.
$f(x)dx+g(y)dy=0\Rightarrow \int {f(x)dx}+\int {g(y)dy}=C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}$

証明.
$f(x)dx+g(y)dy=0$ の両辺をdxで除算して、本来の記号${\frac {dy}{dx}}$ に戻すと次式となる。
$f(x)+g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0$

この両辺をxで積分すると次式となる。
${\begin{aligned}\int {f(x)+g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)dx}&=0\\\int {f(x)dx}+\int {g(y)\left({\frac {dy}{dx}}\right)dx}&=C\end{aligned}}$

左辺第2項に命題1を適用して整理する。
$\int {f(x)dx}+\int {g(y)dy}=C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}$

変数分離形微分方程式

f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。
$g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$

変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。

• $g(y)dy=f(x)dx$
• $f(x)dx-g(y)dy=0$
• ${\frac {dy}{dx}}=f(x)h(y)\quad \because h(y)={\frac {1}{g(y)}}$

• 変数分離形の例

  ${\frac {dy}{dx}}=2xy$

  ${\frac {dy}{dx}}=(x^{2}+1)\left(y+{\frac {1}{y}}\right)$

  
  

• 変数分離形ではない例

  ${\frac {dy}{dx}}=2x+3y$

  ${\frac {dy}{dx}}=x-y$

例題1. 
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}=x$

解答.
${\begin{aligned}dy&=xdx\\\int {dy}&=\int {xdx}\\y&={\frac {1}{2}}x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}=y$

解答.
${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}dy&=dx\\\int {{\frac {1}{y}}dy}&=\int {dx}\\\ln {|y|}&=x+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\|y|&=e^{x+C}\\y&=\pm e^{C}e^{x}\\y&=Ce^{x}\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
$ydy=xdx$

解答.
${\begin{aligned}\int {ydy}&=\int {xdx}\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{2}}x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\y^{2}&=x^{2}+2C\\y^{2}&=x^{2}+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\end{aligned}}$

例題4.
微分方程式の一般解を求めよ。
$xdx-(1+x^{2})dy=0$

解答.
$dy={\frac {x}{1+x^{2}}}$ とおく。
${\begin{aligned}\int {dy}&=\int {{\frac {x}{1+x^{2}}}dx}\\y&={\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{1+x^{2}}}\\y&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C\qquad {\mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}\\\end{aligned}}$

同次形微分方程式

同次形微分方程式とは

${\frac {dy}{dx}}$ が ${\frac {y}{x}}$ のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。
${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)$

同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。

変数分離形として記述できることの説明

$u={\frac {y}{x}}$ とおけば、$y=ux$ より、積の微分公式を使用して、${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}x+u$ となる。
これを、${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)$ に代入すると、$u+{\frac {du}{dx}}x=f(u)$ となる。
したがって、${\frac {du}{dx}}={\frac {f(u)-u}{x}}$

これは未知関数uの変数分離形である。

同次形微分方程式の例

• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+1$
• ${\frac {dy}{dx}}=2\left({\frac {y}{x}}\right)^{3}+{\frac {y}{x}}$
• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {(x+y)}{(x-y)}}\quad \Rightarrow$ 分母分子をxで除算すると、${\frac {dy}{dx}}={\frac {1+{\frac {y}{x}}}{1-{\frac {y}{x}}}}$ と記述できるため、同次形微分方程式である。

同次形微分方程式の例題

例題1.
微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+1$

解答.
${\frac {y}{x}}=u$ とおくと、$y=ux$
積の微分公式より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u}


これを微分方程式に代入すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u + \frac{du}{dx} x = u + 1}
 となり、各項を計算すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} x = 1}
 となる。
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{x}}
 であるため、変数分離形となる。

この両辺をxで積分すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  \int{\frac{du}{dx} dx} &= \int{\frac{1}{x}} dx \\  \int{du} &= \int{\frac{1}{x} dx} \\  u &= \ln|x| + C  \end{align}  }


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = \frac{y}{x}}
 であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{y}{x} = \ln|x| + C}


したがって、一般解は、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}}

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}}


解答.
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}}
 は、次のように記述できるため、同次形微分方程式である。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} \cdots (1)}


ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = \frac{y}{x} \cdots (2)}
 すなわち 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = xu}
 とおくと、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \cdots (3)}


上式(2)(3)を上式(1)へ代入すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u + x \frac{du}{dx} = \frac{1 + u}{1 - u}}


したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \frac{1 + u^2}{1 - u} \cdots (4)}

これは変数分離形である。

上式84)を変数分離して積分すると、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{\frac{1 - u}{1 + u^2} du} = \int{\frac{1}{x}} dx}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{ \left \{ \frac{1}{1 + u^2} - \frac{1}{2} \frac{2u}{1 + u^2} \right \} du} = \int{\frac{1}{x} dx}}

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan^{-1}(u) - \frac{1}{2} \ln{(1 + u^2)} = \ln{x} + C}


ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = \frac{y}{x}}
 を代入してx, yの式に戻す。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln{\left (1 + \frac{y^2}{x^2} \right) } = \ln{x} + C}


ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2} \ln{ \left ( 1 + \frac{y^2}{x^2} \right ) }}
 は、対数の法則により、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2} \ln{ \left ( 1 + \frac{y^2}{x^2} \right ) }}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{1}{2} \ln{ \left ( \frac{x^2 + y^2}{x^2} \right ) }}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{1}{2} \left \{ \ln{(x^2 + y^2)} - \ln{x^2} \right \}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{1}{2} \left \{ \ln{(x^2 + y^2)} - 2 \ln{x} \right \}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = \frac{1}{2} \ln{(x^2 + y^2)} - \ln{x}}


ゆえに、一般解は次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{array}{lcl}  \tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln{(x^2 + y^2)} + \ln{x} &=& \ln{x} + C \\  \implies \tan^{-1} \left ( \frac{y}{x} \right ) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) &=& C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}  \end{array}  }

1階線形微分方程式

1階線形微分方程式とは

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x), g(x)} をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、1階線形微分方程式(first-order linear differential equation)という。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) \quad \cdots (1)}

上式(1)の中で、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(x) = 0} の以下の方程式を同次方程式(homogeneous equation)という。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = 0 \quad \cdots (2)}

上式(1)の中で、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(x) \ne 0} の場合の方程式を非同次方程式(inhomogeneous equation)という。

同次方程式は、変数分離形の方程式となる。

理由.
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = 0 \quad \mbox{( 同 次 方 程 式 )}}
 を記述し直すと、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = - f(x) \quad (y \ne 0)}
 となり、左辺はyのみの関数、右辺はxのみの関数となる。

• まとめ:

• 同次方程式(変数分離形)

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = 0}

• 非同次方程式

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) \quad (g(x) \ne 0)}

1階線形微分方程式の例

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + y = x}
• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 5x^2}
• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin{x}}

1階線形微分方程式ではない例

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y^n (n \ge 2)} の項があるものは、非線形である。

例. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy = 2xy^4 \qquad} (ベルヌーイ形の微分方程式)

1階線形微分方程式の一般解

定理
1階線形微分方程式 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x)}
 の一般解は、以下の公式で表される。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C } \right \} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 ) }}


ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x) = e^{\int{f(x) dx}}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{f(x) dx}}
 は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)}
 の原始関数の1つ

上式にある 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x)}
 を積分因子(integrating factor)という。

1階線形微分方程式の一般解の証明

1階線形微分方程式 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) \cdots (1)} の両辺に 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x) = e^{\int{f(x) dx}} \cdots (2)} を乗算すると、次式が得られる。
${\begin{aligned}\left({\frac {dy}{dx}}+f(x)y\right)h(x)&=g(x)h(x)\\{\frac {dy}{dx}}h(x)+y(f(x)h(x))&=g(x)h(x)\cdots (3)\end{aligned}}$

ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) h(x) = \frac{dh(x)}{dx}} である。
なぜなら、上式(2)において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = \int{f(x) dx}} とおくと、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x) = e^u} であるので、合成関数の微分公式より、次式が得られるからである。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{dh(x)}{dx} &= \frac{d e^u}{dx} \frac{du}{dx} \\ &= e^u \frac{d}{dx} \left \{ \int{f(x) dx} \right \} \\ &= f(x) e^u \\ &= f(x)h(x) \end{align} }

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) h(x) = \frac{dh(x)}{dx}} を考慮して、上式(3)の左辺を記述し直すと、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} h(x) + y \frac{dh(x)}{dx} = g(x) h(x)}
さらに、積の微分公式より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx} (y h(x)) = g(x) h(x) \cdots (4)} となる。

上式(4)の両辺をxで積分すると、次式が得られる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y h(x) = \int{g(x) h(x) dx + C}}

したがって、一般解は次式で表される。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}
QED.

1階線形微分方程式の例題

例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \frac{dy}{dx} + y = 2x}


解答.
両辺をxで割ると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2}
 より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = 2}
 となる。

積分因子 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x)}
 を求める。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x) = e^{\int{f(x) dx}} = e^{\int{\frac{1}{x} dx}} = e^{\ln(|x|)} = |x| \cdots (2)}


上記の式を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \}}
 に代入すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = \frac{1}{|x|} \left \{ \int{2 |x|dx + C} \right \}}


ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |x| = \plusmn x}
 より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  y &= \frac{1}{\plusmn x} \left \{ \int{2 (\plusmn) x dx + C} \right \} \\  &= \frac{1}{x} \left \{ \int{2x dx + C} \right \} \\  &= \frac{1}{x} (x^2 + C) \\  &= x + \frac{C}{x}  \end{align}  }


ゆえに、一般解は次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 5x^2}


解答.
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = 3x^2, \quad g(x) = 5x^2}
 として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。

この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle z = 3x^2, \quad w = x^3}
 と変数変換する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  y &= e^{- \int{z dx}} \left \{ \int{5x^2 e^{\int{z dx}} dx + C } \right \} \\  &= e^{-w} \left \{ \int{5x^2 e^w dx} + C \right \}  \end{align}  }


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{5}{3} e^w}
 をxで微分すると、合成関数の微分公式より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  \frac{d}{dx} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) &= \frac{d}{dw} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) \frac{dw}{dx} \\  &= \frac{5}{3} e^w \frac{d}{dx} x^3 \\  &= \frac{5}{3} e^w 3x^2 \\  &= 5x^2 e^w \qquad \cdots \, \, (1)  \end{align}  }


(1)式の両辺を積分すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{\frac{d}{dx} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) \, dx} = \int{5x^2 e^w \, dx} \quad \implies \quad \frac{5}{3} e^w = \int{5x^2 e^w \, dx}}
 となる。

よって、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{5x^2 e^w dx} = \frac{5}{3} e^w}
 が成立する。
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = e^{-w} \left \{ \frac{5}{3} e^w + C \right \} = Ce^{-w} + \frac{5}{3}}


一般解は次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = Ce^{-x^3} + \frac{5}{3} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \quad \because w = x^3}

例題3.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 2 \ln{x}}


解答.
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 2 \ln{x}}
 は、1階線形微分方程式である。

1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  y &= e^{- \int{- \frac{1}{x} dx}} \left \{ \int{2 e^{\int{- \frac{1}{x} dx}}} \, \ln{x} + C\right \} \\  &= e^{\ln{x}} \left \{ \int{2 e^{\ln{x}} \frac{1}{x} dx} + C \right \} \\  &= x \left \{ \int{2 \ln{x} \frac{1}{x} dx} + C \right \}  \qquad \because e^{\ln{x}} = x \\  \end{align}  }


合成関数の微分公式より、以下の式が成立する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx} (\ln{x})^2 = 2 \ln{x} \frac{d}{dx} \ln{x} = 2 \ln{x} \frac{1}{x}}


したがって、一般解は以下となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = x {(\ln{x})^2 + C} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}

ベルヌーイ形微分方程式

ベルヌーイ形微分方程式とは

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x), \, g(x)} をxのみの関数とする時、以下の形の微分方程式を、ベルヌーイ(Bernoulli)形微分方程式という。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) yk \quad (k \ne 0, 1) \cdots (1)}

ベルヌーイ形方程式は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = y^{1 - k}} とおくことにより、1階線形微分方程式に記述することができる。
上式(1)において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k = 0, \, k = 1} の場合は、それぞれ、変数分離形微分方程式、1階線形微分方程式になる。(そのため、kの条件 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k \ne 0, 1} で排除している)

ベルヌーイ形微分方程式の例.
ある値域(人口N人)のファッションの伝搬速度は、ファッションに参加している人数yと未参加者N - yの両方に比例すると考えられる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = ky (N - y) \qquad}
 (ロジスティック方程式)

この方程式を書き直すと以下のベルヌーイ形になる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} - kNy = - ky^2 \qquad}
 (ベルヌーイ形)

ベルヌーイ形微分方程式の1階線形微分方程式への変換

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + f(x) y = g(x) y^k (k \ne 0, 1) \cdots (1)} において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y \ne 0} の場合を考える。( 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = 0} は、式(1)の解の1つである)

右辺からyを消すため、両辺を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y^k} で除算すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y - k \frac{dy}{dx} + f(x) y^{1 - k} = g(x) \cdots (2)}

ここで、${\frac {d}{dx}}(y^{1-k})=(1-k)y^{-k}{\frac {dy}{dx}}$ という事実に着目して、上式(2)の両辺に 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - k} を乗算すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (1 - k) y^{-k} \frac{dy}{dx} + (1 - k) f(x) y^{1 - k} = (1 - k) g(x)}

ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = y^{1 - k}, \quad \frac{du}{dx} = (1 - k) y^{-k} \frac{dy}{dx}} とおき、未知関数をyからuへ変換する。
この時、未知関数uの1階線形微分方程式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} + (1 - k) f(x) u = (1 - k) g(x)}

ベルヌーイ形微分方程式の例題

例題1.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy = 2x y^4}


解答.
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy = 2x y^4}
 の両辺を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y^4}
 で除算して、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - 4 = -3}
 を乗算する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -3y -4 \frac{dy}{dx} - 6x y^{-3} = -6x}


ここで、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = y^{-3}}
 とおくと、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} = -3y^{-4} \frac{dy}{dx}}
 となるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} - 6xu = -6x}
 となり、未知関数uに関する1階線形微分方程式である。

1階線形微分方程式の公式を使用する。
積分因子 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x) = e^{- \int{6x dx}}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  u &= e^{\int{6x dx}} \left \{ \int{-6x e^{- \int{6x dx}} dx + C} \right \} \\  &= e^{3x^2} \left \{ \int{-6x e^{-3x^2} dx + C} \right \} \\  &= e^z \left \{ \int{-6x e^{-z} dx + C} \right \}  \qquad (\because z = 3x^2) \\  &= e^z (e^{-z} + C) \\  &= 1 + C e^z  \end{align}  }


ゆえに、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = 0}
 となる解は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C = + \infty}
 の場合に対応する。

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + y \sin{x} = y^2 \sin{x}}


解答.
これはベルヌーイ形微分方程式である。

与式の両辺に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -y^{-2}}
 を乗算すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \sin{x} = - \sin{x} \qquad \cdots (1)}


この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = y^{-1}}
 とおくと、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx} \qquad \cdots (2)}
 である。
上式(2)を上式(1)へ代入する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} - u \sin{x} = - \sin{x}}


これは、1階線形微分方程式となるので、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  u &= e^{\int{\sin{x} dx}} \left \{ - \int{\sin{x} e^{- \int{\sin{x} dx}} dx} + C \right \} \\  &= e^{- \cos{x}} \left \{ - \int{\sin{x} e^{\cos{x}} dx} + C \right \} \\  &= e^{- \cos{x}} (e^{\cos{x}} + C) \\  &= 1 + C e^{- \cos{x}}  \end{align}  }


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = y^{-1}}
 であるため、一般解は以下となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  y &= u^{-1} \\  &= \frac{1}{1 + C e^{- \cos{x}}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 ) }  \end{align}  }

例題3.
次下の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2x^{-1} y  = -7x^2 y^{\frac{4}{3}}}


解答.
与式は、ベルヌーイ形微分方程式である。
両辺に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle - \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}}}
 を乗算すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle - \frac{1}{3} y^{- \frac{4}{3}} \frac{dy}{dx} - \frac{2}{3x} y^{- \frac{1}{3}} = \frac{7}{3} x^2}


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u = y^{- \frac{1}{3}}}
 とおく時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dx} - \frac{2}{3x} u = \frac{7}{3} x^2}

これは1階線形微分方程式であるため、1階線形微分方程式の一般解の公式を適用すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  u &= e^{\int{\frac{2}{3x} dx}} \left \{ \int{\frac{7}{3} x^2 e^{- \int{\frac{2}{3x}dx}} dx} + C \right \} \\  &= x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{7}{3}} + C) \qquad \because e^{\frac{2}{3} \ln{x}} =  = x^{\frac{2}{3}} \\  &= x^3 + C x^{\frac{2}{3}}  \end{align}  }


したがって、一般解は以下となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y^{- \frac{1}{3}} = x^3 + C x^{\frac{2}{3}} \qquad \mbox{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }}

完全微分方程式

完全微分方程式とは

x, yを変数とする以下の微分方程式を考える。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \cdots (1)}

この時、上式(1)の左辺が、ある関数 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(x, y)} の微分 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle dP = \frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy} になる時、
上式(1)を完全微分方程式という。

完全微分方程式は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle dP = 0} と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}

完全微分方程式の定理と判定

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x, y) dx + g(x, y)dy = 0} が完全微分方程式である。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x, y) dx + g(x, y)dy = 0 \iff \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}}

完全微分方程式の一般解の公式(定理)

完全微分方程式 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0}
 の一般解は、次式で表される。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{f(x, y) dx} + \int{ \left ( g(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int{f(x, y) dx} \right ) } dy = C}

完全微分方程式の例

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 3x^2 y^4 dx + 4x^3 y^3 dy = 0}

理由
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(x, y) = x^3 y^4} の時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_x(x, y) = 3x^2 y^4 = f(x, y), \quad P_y(x, y) = 4x^3 y^3 = g(x, y)} である。
さらに、以下の判定条件により、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}} が成立するため、完全微分方程式である。

• 判定条件

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^4) = 12x^2 y^3}

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4x^3 y^3) = 12x^2 y^3}

完全微分方程式の例題

例題1.
次の微分方程式が完全微分方程式であることを確かめよ。
また、この微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (2x + y^2) dx + (2xy + 3y^2) dy = 0}


解答.
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x, y) = 2x + y^2, \quad g(x, y) = 2xy + 3y^2}
 とおく時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial g}{\partial x} = 2y}
 であり、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}}
 が成立する。
判定条件が成立したので、完全微分方程式である。

完全微分方程式の一般解の公式より、以下が成立する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{(2x + y^2) dx} + \int{ \left \{ 2xy + 3y^2 - \frac{\partial}{\partial y} \int{(2x + y^2) dx} \right \} dy}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = x^2 + xy^2 + \int{ \left \{ 2xy + 3y^2 - \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + xy^2) \right \} dy}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = x^2 + xy^2 + \int{3y^2 dy}}

$=x^{2}+xy^{2}+y^{3}$

ゆえに、一般解は次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2 + xy^2 + y^3 = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}}

例題2.
次の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (2x + e^y) dx + (1 + x e^y) dy = 0}


解答.
まず、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (2x + e^y) dx + (1 + x e^y) dy = 0}
 が完全微分方程式であることを確認する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} (2x + e^y) = e^y, \quad \frac{\partial}{\partial x} (1 + x e^y) = ey}

となるため、与式は完全微分方程式である。

完全微分方程式の一般解の公式を適用する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{(2x + e^y) dx} + \int{ \left \{ 1 + x e^y - \frac{\partial}{\partial y} \int{(2x + e^y) dx} \right \} dy}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int{(2x + e^y) dx} + \int{ \left \{ 1 + x e^y - \int{e^y dx} \right \} dy}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = x^2 + x e^y + \int{(1 + x e^y - x e^y) dy}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = x^2 + x e^y + \int{dy}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle = x^2 + x e^y + y + C}


したがって、一般解は以下となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2 + x e^y + y = C \qquad \mbox{ ( C : 任 意 の 定 数 ) }}