回路計算 - RC直列回路
概要
RC直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下に示すような手順で解く。
- 対象の回路の回路方程式をたてる。
- 初期条件を考慮して、微分方程式または積分方程式を解く。
ここでは、RC直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。
電流の求め方
まず、RC直列回路の回路方程式をたてる。
回路に流れる電流を、とする時、次式(1)の微分方程式となる。
…(1)
(1)式をラプラス変換すると以下となる。
上式(2)を逆ラプラス変換する。
したがって、RC直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて流れなくなる。
下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)と0になる。
つまり、定常状態に達すると、コンデンサCはオープンされているのと同じということになる。
また、RC直列回路の時定数τは、 である。
抵抗Rに掛かる電圧の求め方
RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。
抵抗Rにかかる電圧ER(t)[V]は、次式となる。
抵抗Rの電圧のグラフにおいて、電圧ER(t)はi(t)にRを乗算しただけなので、i(t)と同じような形のグラフになる。
抵抗Rの電圧は [V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさは0[V]になる。
コンデンサCに掛かる電圧の求め方
RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。
コンデンサCにかかる電圧EC(t)[V]は、次式となる。
初期条件として、 の時、 を利用する。
したがって、
コンデンサCの電圧EC(t)のグラフは、電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさはE[V]になる。
したがって、電源を投入した直後は、電源の電圧が全て抵抗に掛かるが、
定常状態に達すると抵抗には電圧がかからず、電圧は全てコンデンサにかかる。