回路計算 - 鳳テブナンの定理

概要

鳳テブナンの定理(等価電圧源の定理とも呼ばれる)とは、電源を含む回路において、ある特定の素子に流れる電流を求めたい場合に有用な定理である。

鳳テブナンの定理とは

例えば、下図(1)のような電源を含む回路があって、この回路の端子a-b間に接続されている抵抗R［Ω］に流れる電流I［A］を求めたいとする。

この時、抵抗Rを取り外した状態での端子a-b間に現れる電圧（開放電圧）をV₀［V］、抵抗Rを取り外した状態での端子a-b間の合成抵抗をR₀［Ω］とすると、
端子a-bより左側の回路は、起電力がV0、内部抵抗がR0の電圧源に置き換える（等価変換する）ことができ、抵抗Rに流れる電流Iは、次式で求めることができる。
${\mbox{鳳 テ ブ ナ ン の 定 理 }}\quad :\quad I={\frac {V_{0}}{R_{0}+R}}$

鳳テブナンの定理を用いると、電流を求めたい箇所の特定の素子を除いた部分の回路（上図の場合、端子a-bより左側の回路）を、内部抵抗がある1つの電圧源として等価的に置き換えることができる。
そのため、複雑な回路であっても、回路を単純化して電流を計算することができる。

鳳テブナンの定理による電流の求め方

1. 電流を求めたい抵抗Rの両端を端子a、bとする。

   

2. 抵抗Rを取り外して、端子a-b間を開放状態にする。

   

3. 端子a-b間に現れる電圧（開放電圧）V₀を求める。

   

4. 回路内の全ての電源を取り除き（電圧源は短絡して、電流源は開放する）、端子a-bからみた回路の合成抵抗R₀を求める。

   

5. 上記3で求めた開放電圧V₀と、上記4で求めた合成抵抗R₀を、テブナンの定理の式 $I={\frac {V_{0}}{R_{0}+R}}$ に代入して、電流Iを計算する。

   

以上の手順で、抵抗Rに流れる電流Iを求めることができる。

※補足
上記3で求めた開放電圧はV₀［V］であるが、この電圧V₀［V］は抵抗Rを接続して抵抗Rに電流が流れている状態での抵抗Rの両端にかかる電圧（端子a-b間の電圧）とは異なる。
抵抗Rを接続した状態では、抵抗Rに掛かる電圧は、V₀［V］ではなくRI［V］になることに注意する。

テブナンの定理による電流の計算例

電源が1つ、抵抗が3つある回路

テブナンの定理を用いて、下図(1)の回路の抵抗R₃に流れる電流Iを求める。

まず、抵抗R₃に流れる電流を求めるため、上図(2)のように、抵抗R₃の両端を端子a、bとする。
上図(3)のように、抵抗R₃を取り外して、端子a-b間を開放状態にする。
上図(4)のように、端子a-b間に現れる電圧（開放電圧）V₀を求める。
上図(4)の回路に流れる電流I₀、および、端子a-b間の電圧（開放電圧）V₀は、次式となる。
$I_{0}={\frac {V}{R_{1}+R_{2}}}\quad {\mbox{よ り }}\quad \quad V_{0}={\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}V$

上図(5)のように、電圧源を短絡および電流源は開放して、端子a-bからみた回路の合成抵抗R₀を求める。
電源を取り除くと、抵抗R₁と抵抗R₂が並列に接続された回路になるため、端子a-bからみた回路の合成抵抗R₀は次式となる。
$R_{0}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

上記で求めた開放電圧V₀および合成抵抗R₀をテブナンの定理の式に代入して、電流Iを計算する。(上図(6))
${\begin{aligned}I&={\frac {V_{0}}{R_{0}+R_{3}}}\\&={\frac {{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}V}{{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+R_{3}}}\\&={\frac {R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{3}R_{1}+R_{3}R_{2}}}V\end{aligned}}$

電源が2つ、抵抗が3つある回路

テブナンの定理を用いて、下図(1)の回路の抵抗R₃に流れる電流Iを求める。

まず、抵抗R₃に流れる電流を求めるため、上図(2)のように、抵抗R₃の両端を端子a、bとする。
抵抗R3を取り外して、端子a-b間を開放状態にする。
上図(3)のように、端子a-b間に現れる電圧（開放電圧）V₀を求める。
$V_{1}-V_{2}=R_{1}I_{0}+R_{2}I_{0}$
$V_{1}-V_{2}=(R_{1}+R_{2})I_{0}$
$I_{0}={\frac {V_{1}-V_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

${\begin{aligned}V_{0}&=V_{2}+R_{2}I_{0}\\&=V_{2}+R_{2}{\frac {V_{1}-V_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\\&={\frac {V_{2}(R_{1}+R_{2})}{R_{1}+R_{2}}}+{\frac {R_{2}(V_{1}-V_{2})}{R_{1}+R_{2}}}\\&={\frac {V_{2}(R_{1}+R_{2})+R_{2}(V_{1}-V_{2})}{R_{1}+R_{2}}}\\&={\frac {R_{1}V_{2}+R_{2}V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\end{aligned}}$

上図(4)のように、電圧源は短絡および電流源は開放して、端子a-bからみた回路の合成抵抗R₀を求める。
$R_{0}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

端子a-b間の抵抗R₃、および、上記で求めた開放電圧V₀および合成抵抗R₀をテブナンの定理の式に代入して、電流Iを計算する。(上図(5))
${\begin{aligned}I&={\frac {V_{0}}{R_{0}+R_{3}}}\\&={\frac {\frac {R_{2}V_{1}+R_{1}V_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+R_{3}}}\\&={\frac {R_{2}V_{1}+R_{1}V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{3}(R_{1}+R_{2})}}\\&={\frac {R_{2}V_{1}+R_{1}V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{3}R_{1}+R_{3}R_{2}}}\end{aligned}}$