回路計算 - スターデルタ変換

概要

スター結線 (Y結線) は、3つの巻線の一端を共通の中性点 (ニュートラルポイント) で接続する方式である。
形状が「Y」の文字に似ていることから、Y結線とも呼ばれている。

スター結線では、各相の電圧 (相電圧) は線間電圧の ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ となる。
主に、変圧器の低圧側や誘導電動機の固定子巻線で使用されており、家庭用電源としても広く採用されている。

デルタ結線 (Δ結線) は、3つの巻線を三角形状に接続する方式である。
ギリシャ文字のΔ (デルタ) に形状が似ていることから、この名称がついている。

デルタ結線では、相電流は線電流の ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ となる。
主に、変圧器の高圧側や大型の誘導電動機で使用されることが多く、大電流に適している。

これら2つの結線方式の主な特徴を比較する。

• スター結線

  中性点があるため、単相負荷にも対応可能

  絶縁耐力の面で有利

  小電流向き

• デルタ結線

  大電流に適している

  相間の電圧と線間の電圧が等しい

  故障時でも運転継続が可能な場合がある

実際の使用場面では、これらの特徴を考慮して使い分けられる。
例えば、配電系統では需要家側 (低圧側) にスター結線を、送電側 (高圧側) にデルタ結線を採用することが一般的である。

また、変圧器では1次側と2次側で異なる結線方式を組み合わせることにより、位相差の調整なども行っている。

これらの結線方式は、電気設備の設計や保守において非常に重要な基礎知識となる。

相電圧と線間電圧

これらの電圧関係は、三相交流回路の解析や設計において非常に重要である。

特に、変圧器やモータ等の機器の結線方式を選択する場合の基準となる。

スター結線 (Y結線) の場合

• 相電圧

  中性点 (N) と各相端子 (A、B、C) 間の電圧を指す。

  下図の青い矢印で示している。

• 線間電圧

  各相端子間 (A-B間、B-C間、C-A間) の電圧を指す。

  下図の赤い矢印で示している。

  線間電圧は、相電圧の ${\sqrt {3}}$ 倍となる。

デルタ結線 (Δ結線) の場合

• 相電圧

  各辺 (抵抗やコイル) に加わる電圧を指す。

  下図の青い矢印で示している。

• 線間電圧

  各端子間 (A-B間、B-C間、C-A間) の電圧を指す。

  下図の赤い矢印で示している。

  相電圧と線間電圧は等しくなる。

Y結線における線間電圧と相電圧の関係

電圧の大きさ

Y結線における線間電圧が相電圧の ${\sqrt {3}}$ 倍になる理由は、三相交流のベクトル関係から説明できる。

三相交流における各相電圧は、時間的に120度ずつ位相がずれている。
下図において、黒い矢印は各相電圧ベクトル (E_U、E_V、E_W)、青い矢印は線間電圧ベクトル (E_UV) とする。

線間電圧が相電圧の ${\sqrt {3}}$ 倍になる計算過程を以下に示す。

各相電圧ベクトルは大きさが等しく (Eとおく) 、互いに120度の角度をなす。
線間電圧は2つの相電圧ベクトルの差として表される。

例えば、U相とV相間の線間電圧E_UVは、$E_{UV}=E_{U}-E_{V}$ である。

2つのベクトルのなす角が120°の場合、その差ベクトルの大きさは余弦定理より次式で求められる。
$|E_{UV}|={\sqrt {(E_{U})^{2}+(E_{V})^{2}-2\cdot E_{U}\cdot E_{V}\cdot \cos {120^{\circ }}}}$

$\cos {120^{\circ }}=-0.5$ なので、
${\begin{aligned}|E_{UV}|&={\sqrt {E^{2}+E^{2}-2\cdot E\cdot E\cdot (-0.5)}}\\&={\sqrt {2E^{2}+E^{2}}}\\&={\sqrt {3}}E\end{aligned}}$

上記のように、ベクトルの演算により、線間電圧は相電圧の${\sqrt {3}}$ 倍となることが証明される。
これは、三相交流システムの重要な特性の1つであり、変圧器やモータの設計、電力供給システムの構築において基本的な関係である。

位相

Y結線の三相交流回路では、線間電圧の位相が相電圧よりも30°進む。

まず、u相とv相に着目すると、相電圧E_Uと相電圧E_Vは位相が120°ずれるため、ベクトルで表すと下図(a)のようになる。
ここで、線間電圧V_UVは、E_Uと-E_Vを足したものである。

V_UVの大きさは下図(b)のような直角三角形が現れることから、EUの ${\sqrt {3}}$ 倍となり、位相がE_Uに比べて30°進むことが理解できる。

Δ結線における線間電圧と相電圧の関係

電圧の大きさ

Δ結線における線間電圧と相電圧が同じになる。

Δ結線の構造的特徴

• 3つの巻線が三角形状に接続されている。
• 各巻線の端子が直接負荷に接続されている。
• 巻線間に他の経路がない。

電気的な観点

• 相電圧

  各巻線にかかる電圧 (V_PH)

• 線間電圧

  線と線の間の電圧 (V_L)

• Δ結線では、負荷端子は巻線の端子と直接接続されている。

そのため、線間電圧を測定する場合、測定点は巻線の両端と同じ位置になる。
したがって、$V_{L}=V_{PH}$ となる。

これはY結線と大きく異なる点である。
Y結線の場合は、${\mbox{ 線 間 電 圧 }}\,={\mbox{ 相 電 圧 }}\times {\sqrt {3}}$ となるが、Δ結線ではそのような変換は発生しない。

このシンプルな関係は、Δ結線の大きな特徴の1つである。
機器の設計や電圧管理において、この特性を活かすことができる。

位相

Δ結線における線間電圧と相電圧の位相が同じになる。

Δ結線の構造的特徴

• 3つの巻線 (相巻線) が、a-b-c-aのように三角形状に接続されている。
• 各頂点から外部端子 (R-S-T) が引き出されている。
• 各相巻線の端子が直接外部端子に接続される。

電圧の定義

• 相電圧

  各巻線にかかる電圧

  例: Vab, Vbc, Vca

• 線間電圧

  外部端子間の電圧

  例: VRS, VST, VTR

位相が同じになる理由として、相電圧Vabと線間電圧VRSの例で考えると、

• Vabは巻線a-b間の電圧
• VRSは端子R-S間の電圧
• 端子RはaにつながっているR
• 端子SはbにつながっているS
• したがって、VRSはVabと全く同じ電圧を測定することになる

重要な点として、

• Δ結線では測定点が巻線端子と同じ位置
• 巻線間に他の経路が存在しない
• 直接的な接続により、電圧の変換や位相のずれが生じない

これにより、Δ結線では線間電圧と相電圧は、大きさと位相が同じとなる。

Y-Δ変換 (スターデルタ変換)

スター結線 (Y結線) とデルタ結線 (Δ結線) は、互いに等価な回路に変換することができる。
スター結線 (Y結線) を等価なデルタ結線 (Δ結線) に変換する時、この変換をスターデルタ変換という。

スターデルタ変換は、スターデルタ等価変換と呼ばれることもある。

抵抗値の変換

スター結線の抵抗をR_A、R_B、R_C、変換後のデルタ結線の抵抗をR_AB、R_BC、R_CAとする時、次式で求められる。

${\begin{array}{lcl}R_{AB}&={\frac {(R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A})}{R_{C}}}\\R_{BC}&={\frac {(R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A})}{R_{A}}}\\R_{CA}&={\frac {(R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A})}{R_{B}}}\end{array}}$
上式は、分子が3つの抵抗値の積の組み合わせの和となっており、分母がその対角に位置する抵抗値となっていることが特徴である。

分子部分をZとおいて、$Z=R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A}$ とする時、次式のように表すこともできる。
次式のように整理する場合、計算がより簡単になる。
${\begin{array}{lcl}R_{AB}&={\frac {Z}{R_{C}}}\\R_{BC}&={\frac {Z}{R_{A}}}\\R_{CA}&={\frac {Z}{R_{B}}}\end{array}}$
この変換式を使用することにより、スター結線の回路を等価なデルタ結線の回路に変換することができる。

なお、3つの抵抗が同じ場合は、$R=R_{A}=R_{B}=R_{C}$ となり、
${\begin{aligned}R_{AB}&={\frac {3R^{2}}{R}}\\&=3R\\R_{BC}&={\frac {3R^{2}}{R}}\\&=3R\\R_{CA}&={\frac {3R^{2}}{R}}\\&=3R\\\end{aligned}}$

$\therefore R_{AB}=3R\quad R_{BC}=3R\quad R_{CA}=3R$

となるため、スターデルタ変換後のデルタ結線 (Δ結線) の抵抗値は、スター結線 (Y結線) の抵抗値の3倍になる。