ロピタルの定理

概要

ロピタルの定理は、ある値 $c$の区間 $(-\infty \leqq c\leqq \infty )$ を含むある区間Iがあり、関数$f,\,g$ はその内部で微分可能で、
$\lim {x\to c}f(x)=\lim {x\to c}g(x)$ かつその値が $0$ または $\pm \infty$ であり、
かつ、極限 $\lim {x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ が存在し、
かつ、区間Iにおける $c$ の除外近傍において、${\frac {dg(x)}{dx}}\neq 0$ が成り立つならば、$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ であることを主張する。

つまり、分子と分母を微分することにより、不定形の分数を単純化あるいは非不定形に変換して、分数の極限値を簡単に計算できる可能性がある。

ロピタルの定理

ロピタルの定理は、以下に示す2つの条件が前提となっている。

• $\lim _{x\to a}{\dfrac {\dfrac {df(x)}{dx}}{\dfrac {dg(x)}{dx}}}$ が存在すること。
• $x$ の収束先(極限の近くで)が実数である場合、${\frac {dg(x)}{dx}}\neq 0$ となること。

定理 :

aを実数とする。
aの周辺（つまり、ある $\gamma >0$ が存在して、$a-\gamma <x<a,\quad a<x<a+\gamma$ )において、$f(x)$ と $g(x)$ は微分可能とする。
また、$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$ とする。

この時、$\lim _{x\to a}{\dfrac {\dfrac {df(x)}{dx}}{\dfrac {dg(x)}{dx}}}$ が存在（実数に収束）し、
かつ、${\frac {dg(x)}{dx}}\neq 0\quad (a-\gamma <x<a,,a<x<a+\gamma )$ ならば、
$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\dfrac {\dfrac {df(x)}{dx}}{\dfrac {dg(x)}{dx}}}$

ロピタルの定理は、極限の計算のために微分を使用するが、微分の計算には極限の計算が必要である。
そのため、循環論法に陥ることがある。

例えば、$\sin {x}$ の微分を用いて $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}$ を計算する場合、
$\sin {x}$ の微分の計算には $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}$ が必要となる。

このような問題点もあるので、ロピタルの定理は値の確認用として使用することを推奨する。<vr>

ロピタルの定理が使用できる場合

例題1 :
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}$

解答 :
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos {x}}{1}}=1$⁡

例題2 :
$\lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin {x}}{x^{3}}}$

解答 :
${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin {x}}{x^{3}}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{6x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos {x}}{6}}\\&={\frac {1}{6}}\end{aligned}}$ 

例題3 :
$\lim _{x\to 1}{\frac {\log(x)}{x-1}}$

解答 :
$\lim _{x\to 1}{\frac {\log(x)}{x-1}}={\frac {1}{x}}=1$

例題4 :
$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}$

解答 :
${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {2x}{e^{x}}}\\&=\lim _{x\to \infty }{\frac {2}{e^{x}}}\\&=0\end{aligned}}$

ロピタルの定理が使用できない場合

上記の2つの条件が成立していない場合は、ロピタルの定理は使用できない。
以下の例では、$\lim _{x\to a}{\dfrac {\dfrac {df(x)}{dx}}{\dfrac {dg(x)}{dx}}}$ が存在するという条件が満たされない場合である。

$M=\lim _{x\to \infty }{\frac {x-\cos {x}}{x}}$

上記の例は、${\frac {\infty }{\infty }}$ の不定形なのため、ロピタルの定理を使用すると、$\lim _{x\to \infty }{\frac {1+\sin {x}}{1}}$ となり振動する。

この場合、はさみうちの原理を用いると $M=1$ であることがわかる。