ベクトル - ベクトル方程式

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概要

ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。

直線は、点の集合である。
例えば，直線 $y=2x+1$ は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。

ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル $P({\vec {p}})$ の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。

直線のベクトル方程式

定点を通り、ある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点  $A({\vec {a}})$  を通り、 ${\vec {0}}$  でないベクトル  ${\vec {d}}$  に平行な直線のベクトル方程式
 ${\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}$

点 $A({\vec {a}})$ を通り、 ${\vec {0}}$ でないベクトル ${\vec {d}}$ に平行な直線をgとする。
点 $P({\vec {p}})$ が直線g上にあるということは、 ${\overrightarrow {AP}}=t{\vec {d}}$ と表すことができる。

${\overrightarrow {AP}}={\vec {p}}-{\vec {a}}$ より、
${\vec {p}}-{\vec {a}}=t{\vec {d}}$
$\therefore {\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}$
と表すことができる。

この時、 ${\vec {d}}$ を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。

また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。
原点をO、点Aの座標を $A(x1,y1)$ 、直線g上の任意の点を $P(x,y)$ として、 ${\vec {d}}=(l,m)$ とする時、
ベクトル方程式は、次式となる。
${\begin{aligned}(x,y)&=(x_{1},y_{1})+t(l,m)\\&=(x_{1}+lt,y_{1}+mt)\end{aligned}}$

${\begin{cases}x=x_{1}+lt\\y=y_{1}+mt\end{cases}}$

媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。

点  $(x_{1},y_{1})$  を通り、 ${\vec {d}}=(l,m)$  が方向ベクトルである直線の方程式
 $m(x-x_{1})-l(y-y_{1})=0$

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）

異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義

異なる2点  $A({\vec {a}}),\,B({\vec {b}})$  を通る直線のベクトル方程式は、次式となる。
 ${\vec {p}}=(1-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}$ 
または
 ${\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}},\,s+t=1$

平面上の異なる2点 $A({\vec {a}}),\,B({\vec {b}})$ を通る直線上に，点 $P({\vec {p}})$ があることを考える。

この時、 ${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {AB}}$ と表されるので、次式となる。
${\begin{aligned}{\vec {p}}&={\vec {a}}+t({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=(1-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}\end{aligned}}$

上式の方程式において、 $1-t=s$ とおく時、次式としても表すことができる。
${\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}$

例. $A(2,1),\,B(3,3)$ の時、直線ABの式は $y=2x-3$ である。

P(x, y)として、ベクトルで考えると
${\begin{aligned}{\vec {p}}&={\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {AB}}\\(x,y)&={\vec {a}}+t({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=(2,1)+t(1,2)\\&=(t+2,2t+1)\end{aligned}}$

したがって、次式のように媒介変数表示で表すことができる。
${\begin{cases}x=t+2\\y=2t+1\end{cases}}$

上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 $y=2x-3$ が成り立つことがわかる。

定点を通り、あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式

定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義

定点  $A({\vec {a}})$  を通り、 ${\vec {0}}$  でないベクトル  ${\vec {n}}$  に垂直な直線のベクトル方程式
 ${\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})$ 
（ ${\vec {n}}$  は直線の法線ベクトル）

下図に、定点 $A({\vec {a}})$ を通り、ベクトル ${\vec {n}}$ に垂直な直線を示す。

点 $P({\vec {p}})$ がこの直線上にあるということは、 ${\vec {n}}\perp {\overrightarrow {AP}}$ である。
内積を用いて表すと、次式となる。
${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {AP}}=0$
$\therefore {\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=0$

例. 点 $A(2,1),\,B(3,3)$ 、直線ABの式 $y=2x-3$ とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。

P(x, y) として、ベクトルで考える。
${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {A}}=0$
${\begin{pmatrix}x-2\\y-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=0$
$x-2+2y-2=0$
$2y=-x+4$
$y=-{\frac {1}{2}}x+2$

したがって、ベクトル方程式 ${\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})$ を用いて、定点 $A({\vec {a}})$ を通り、ベクトル ${\vec {n}}$ に垂直な直線を表すことができる。

ベクトルの終点の存在範囲

定義

ベクトルの終点の存在範囲の定義

 ${\overrightarrow {OA}}={\vec {a}},\,{\overrightarrow {OB}}={\vec {b}},\,{\overrightarrow {OP}}={\vec {p}},\,{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}$  とする。（s、tは実数の変数）
s、tに条件がある時，次のような図形を表す。

直線AB
 ${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\end{cases}}$ 

線分AB
 ${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}$ 

 $\triangle OAB$  の周と内部
 ${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s+t\leq 1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}$ 

平行四辺形OACBの周と内部
 ${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s\leq 1\\0\leq t\leq 1\\\end{cases}}$

直線AB

異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 $P({\vec {p}})$ が次式を満たしながら動く時、点 $P({\vec {p}})$ の存在範囲は直線ABとなる。

${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\end{cases}}$

線分AB

点 $P({\vec {p}})$ の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。

$t=0(s=1)$ の時、点 $P({\vec {p}})$ は、点 $A({\vec {a}})$ と一致する。
$t=0.5(s=0.5)$ の時、点 $P({\vec {p}})$ は、線分ABの中点に位置する。
$t=1(s=0)$ の時、点 $P({\vec {p}})$ は、点 $B({\vec {b}})$ と一致する。

つまり、 $0\leq t\leq 1\,\,(0\leq s\leq 1)$ の時、線分ABを表現することができる。

${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\s+t=1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}\qquad {\mbox{は、線分 AB を表す }}$

△OAB

例えば、 $s+t=0.5$ の時、次式となり、
tを $0\leq t\leq 0.5$ の範囲で変化させると、点Pは、下図(1)のように、線分ABに平行な線分A'B'上を動く。

${\begin{aligned}{\vec {p}}&=(0.5-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}\\&=0.5{\vec {a}}+t({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=0.5{\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {AB}}\end{aligned}}$

そして、 $s+t$ を、 $0\leq s+t\leq 1$ の範囲で変化させると、線分A'B'は、上図(2)のように、△OABの全体を動く。

したがって、
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s+t\leq 1\\s\geq 0\\t\geq 0\\\end{cases}}\qquad {\mbox{は、 △ OAB の周と内部を表す }}$

平行四辺形OACB

例えば、 $s=0.5$ の時、 ${\vec {p}}=0.5{\overrightarrow {OA}}+t{\overrightarrow {OB}}$ となり、
tを $0\leq t\leq 1$ の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。

次に、sを $0\leq s\leq 1$ の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。

したがって、
${\begin{cases}{\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}\\0\leq s\leq 1\\0\leq t\leq 1\\\end{cases}}\qquad {\mbox{は、平行四辺形 OACB の周と内部を表す }}$

円のベクトル方程式

中心がC，半径がrの円のベクトル方程式

中心がC、半径がrの円のベクトル方程式の定義

3つの定点を  $A({\vec {a}}),B({\vec {b}}),C({\vec {c}})$  、円周上の任意の点を  $P({\vec {p}})$  とする。
 $|{\vec {p}}-{\vec {c}}|=r$ 
または
 $({\vec {p}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {c}})=r^{2}$

下図に示すように、中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。

円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、 $CP=r$ である。
ベクトルで表すと、 $|{\overrightarrow {CP}}|=r\quad {\mbox{より }}\quad |{\vec {p}}-{\vec {c}}|=r$ である。

ゆえに、 $|{\vec {p}}-{\vec {c}}|^{2}=r^{2}$
したがって、 $({\vec {p}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {c}})=r^{2}$

また、 $C(a,b),\,P(x,y)$ として成分で表すと、 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ であり、円の方程式となる。

例. 点C(3, 2)が中心で、点R(1, 1)が通る円

P(x, y)、O(0, 0)、C(3, 2)、R(1, 1)とする。
$|{\overrightarrow {CP}}|=|{\overrightarrow {CR}}|$
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} | = | \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OC} |}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle OP = (x, y), \, OC = (3, 2), \, OR = (1, 1)} より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | (x - 3, y - 2) | = | (-2, -1) |}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{5}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5}

したがって、円の方程式は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5} となる。

直径がABの円のベクトル方程式

円のベクトル方程式の定義 2

3つの定点を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), \, B(\vec{b})}
 、円周上の任意の点を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(\vec{p})}
 とする。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0}

下図に示すように、直径がABの円周上の点Pについて考える。

直径に対する円周角は直角であるから、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AP \perp BP} であり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0} となる。
したがって、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0}

例1. 円の中心がC(3. 2)で、点R(1, 1)を通る円
円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | \overrightarrow{CP} | = | \overrightarrow{CR} |}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} | = | \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OC} |}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OC} = (3 , 2), \, \overrightarrow{OR} = (1, 1)} より、

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | (x - 3, y - 2) | = | (-2, -1) |}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{5}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5}

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5} となる。
例2. 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円
円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \qquad \because \overrightarrow{AP} \bot \overrightarrow{BP}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OA} = (2 , 5), \, \overrightarrow{OB} = (4, 1)} より、

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 = -13}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5}

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5} となる。

円の接線のベクトル方程式

下図(1)のように、円の中心点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C(\vec{c})} 、円周上の接点を構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_0(\vec{p_0})} とする時、接線上の点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(\vec{p})} の位置ベクトルは、次式となる。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{CP_0} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0}

また、下図(2)より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | \overrightarrow{CP} | \cos{\theta} = | \overrightarrow{CP_0} |}

両辺に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | \overrightarrow{CP_0} |} を乗算すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle | \overrightarrow{CP} | | \overrightarrow{CP_0} | \cos{\theta} = | \overrightarrow{CP_0} |^2}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{CP_0} = r^2}

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = r^2 \qquad (1)} となる。

(1)式は、次のようにしても求めることができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0}
これを展開する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) &= ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) \\ &= | \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} |^2 \\ &= r^2 \end{align} }

点Pの位置ベクトルを構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(\vec{p}) = (x, y)} 、円の中心Cの位置ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C(\vec{c}) = (a, b)} 、接点P₀の位置ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_0(\vec{p_0}) = (x_0, y_0)} とする。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) =r^2}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - a, y - b) \cdot (x_0 - a, y_0 - b) = r^2}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2}

これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。

例. 円の中心構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C(1, 1)} 、半径構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}} の円に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(2, 2)} で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。
${\overrightarrow {OC}}=(1,1),\,{\overrightarrow {OA}}=(2,2),\,{\overrightarrow {OP}}=(x,y)$ とする。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \quad \Longrightarrow \quad (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0} より、

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x - 2, y - 2) \cdot (1, 1) = x - 2 + y - 2 = x - y - 4 = 0}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore y = -x + 4}