回路計算 - 合成インピーダンス

概要

回路の受動素子（抵抗R、コイルL、コンデンサC）が直列接続または並列接続されている場合の合成インピーダンスの計算手順を記載する。

RL直列回路の合成インピーダンス

RL直列回路は、抵抗RとコイルLが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.1 抵抗RとコイルLが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RL直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

${\dot {Z}}=R+j\omega L\quad [\Omega ]$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad L>0$であるため、$\Re (Z)=R>0,\quad \Im (Z)=\omega L>0$となり、
RL直列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= R + j \omega L \\ \left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega] \end{align} }

RC直列回路の合成インピーダンス

RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.2 抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= R + \frac{1}{j \omega C} \\ &= R - j \frac{1}{\omega C} \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad R > 0, \quad C > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = R > 0, \quad \Im(Z) = - \frac{1}{\omega C} < 0} となり、
RC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= R + \frac{1}{j \omega C} \\ &= R - j \frac{1}{\omega C} \\ \left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + \left (\frac{1}{\omega C} \right )^2} \quad [\Omega] \end{align} }

LC直列回路の合成インピーダンス

LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.3 コイルLとコンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

LC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\ &= j \omega L - j \frac{1}{\omega C} \\ &= j \left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad L > 0, \quad C > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = 0, \quad -\infty < \Im(Z) = - \frac{1}{\omega C} < \infty} となり、
LC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きが変わる。
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0} の時で、場合分けして考える必要がある。

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} > 0} の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} < 0} の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0} の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、複素数平面の原点Oとなる。

  インピーダンスが0ということは、その回路は短絡状態と同じになる。

  
  

  また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0} すなわち、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}} は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\ &= j \left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \\ \left | Z \right | &= \sqrt{\left (\omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2} \\ &= \left | \omega L - \frac{1}{\omega C} \right | \quad [\Omega] \end{align} }

RLC直列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが直列接続の回路

直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。

RLC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \dot{Z_1} + \dot{Z_2} + \dot{Z_3} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\ &= R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C} \\ &= R + j (\omega L - \frac{1}{\omega C}) \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0, \quad C > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = R > 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \omega L - \frac{1}{\omega C} < \infty} となり、
RLC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。

RLC直列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、上式の虚部(構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C}} )が正・負・ゼロの時、それぞれ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きが変わる。
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} > 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} < 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0} の時で、場合分けして考える必要がある。

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} > 0} の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} < 0} の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0} の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z} = R [\Omega]} )

  この条件を満たす周波数は共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの直列回路部分は短絡状態と同じになる。

  
  

  また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0} すなわち、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}} は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \\ &= R + j (\omega L - \frac{1}{\omega C}) \\ \left | Z \right | &= \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2} \quad [\Omega] \end{align} }

RL並列回路の合成インピーダンス

RL並列回路は、抵抗RとコイルLが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.5 抵抗RとコイルLが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RL並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} \\ \dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \\ &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L} \\ &= \frac{j \omega RL (R - j \omega L)}{R^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = \frac{\omega^2 R L^2}{R^2 + (\omega L)^2} > 0, \quad \Im(Z) = \frac{\omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} > 0} となり、
RL並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \\ &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L} \\ \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega R L)^2}}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \\ &= \frac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \quad [\Omega] \end{align} }

RC並列回路の合成インピーダンス

RC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.6 抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{R} + j \omega C \\ \dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + j \omega C} \\ &= \frac{R}{1 + j \omega RC} \\ &= \frac{R (1 - j \omega RC)}{1 + (\omega RC)^2} \\ &= \frac{R - j \omega R^2 C}{1 + (\omega RC)^2} \\ &= \frac{R}{1 + (\omega RC)^2} - j \frac{\omega R^2 C}{1 + (\omega RC)^2} \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad R > 0, \quad C > 0} であるため、
$\Re (Z)={\frac {R}{1+(\omega RC)^{2}}}>0,\quad \Im (Z)=-{\frac {\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}<0$となり、
RC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{R} + j \omega C} \\ &= \frac{R}{1 + j \omega RC} \\ \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{R^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} \\ &= \frac{R}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \quad [\Omega] \end{align} }

LC並列回路の合成インピーダンス

LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.7 コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

LC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{j \omega L} + j \omega C \\ \dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\ &= j \frac{\omega L}{1 - \omega^2 LC} \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad L > 0, \quad C > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \frac{\omega L}{1 - \omega^2 LC} < \infty} となり、
LC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きが変わる。
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0} の時で、場合分けして考える必要がある。

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC > 0} の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC < 0} の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC = 0} の場合

  上式のリアクタンスが無限大になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きに無限大となる。

  インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになる。

  
  

  また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC = 0} すなわち、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}} は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\ &= \frac{j \omega L}{1 - \omega^2 LC} \\ \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega L)^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega^2 LC)^2}} \\ &= \left | \frac{\omega L}{\sqrt{1 + (\omega^2 LC)^2}} \right | \quad [\Omega] \end{align} }

RLC並列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.8 抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RLC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} + \dot{Y_3} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} + j \omega C \\ \dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2} + \dot{Y_3}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\ &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L - \omega^2 RLC} \\ &= \frac{j \omega RL}{R - \omega^2 RLC + j \omega L} \\ &= \frac{j \omega RL(R - \omega^2 RLC - j \omega L)}{(R - \omega^2 RLC)^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L - j \omega^3 R^2 L^2 C}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L - \omega^3 R^2 L^2 C}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L (1 - \omega^2 L C)}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0, \quad C > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = \frac{\omega^2 R L^2}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} > 0, \quad -\infty < \Im(Z) = \frac{\omega R^2 L (1 - \omega^2 L C)}{R^2(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2} < \infty} となり、
RLC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。

RLC並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、上式の分子(特に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC} )が正・負・ゼロの時、それぞれ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きが変わる。
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC > 0, \quad 1 - \omega^2 LC < 0, \quad 1 - \omega^2 LC = 0} の時で、場合分けして考える必要がある。

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC > 0} の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右上の向き(第1象限)になる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC < 0} の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、右下の向き(第4象限)になる。

  
  

• 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC = 0} の場合

  上式のリアクタンスが0になるため、合成インピーダンスのベクトルは、実数軸上の正の向きになる。(構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z} = R [\Omega]} )

  この条件を満たす周波数は反共振周波数であるため、コイルLとコンデンサCの並列回路部分は開放状態と同じになる。

  
  

  また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1 - \omega^2 LC = 0} すなわち、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}} は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L - \omega^2 RLC} \\ &= \frac{j \omega RL}{R - \omega^2 RLC + j \omega L} \\ &= \frac{j \omega RL}{R (1 - \omega^2 LC) + j \omega L} \\ \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega RL)^2}}{\sqrt{R^2 (1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2}} \\ &= \frac{\omega RL}{\sqrt{R^2 (1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega L)^2}} \quad [\Omega] \end{align} }

例題

例題 1

下図のようなRL回路がある時、抵抗に掛かる電圧を求める。

回路のインピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} とインピーダンスの大きさ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |Z|} は、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z} = R + j \omega L = 15 + j20}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |Z| = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25 \, [\Omega]}

全体に流れる電流Iの大きさ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |I|} は、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |I| = \frac{|V|}{|Z|} = \frac{100}{25} = 4 \, [ \mbox{A} ]}

したがって、抵抗に掛かる電圧構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{V_{R}}} は、次のようになる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{V_{R}} = |I| \times R = 4 \times 15 = 60 \, [\mbox{V}]} となる。

インダクタに掛かる電圧構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{V_{L}}} は、次のようになる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{V_{L}} = |I| \times j \omega L = 4 \times j20 = j80 \, [\mbox{V}]} となる。

電圧構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{V}} および電圧の大きさ構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |V|} を求める場合は、次式のように計算する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{V} = 60 + j80} より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |V| = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100 \, [\mbox{V}]} となる。

例題 2

下図のような回路がある時、各抵抗、インダクタ、コンデンサに掛かる電圧を求める。

電流I₁より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} V_{R1} &= I_1 \times R_1 = 20 \times 4 = 80 \, [\mbox{V}] \\ V_{L} &= I_1 \times j \omega L = 20 \times j3 = j60 \, [\mbox{V}] \\ \left | E \right | &= V_1 = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100 \, [\mbox{V}] \end{align} }

電流I₂は、電源電圧100[V]と抵抗R₂およびコンデンサCのインピーダンスZ₂より、10[A]となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left | I_2 \right | = \frac{E}{Z_2} = \frac{100}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 10 \, [\mbox{A}]}

回路に流れる全電流Iは、電源電圧Eから回路全体のインピーダンスZを除算することにより、求めることができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y_1 = \frac{1}{4 + j3}, \quad Y_2 = \frac{1}{6 - j8}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} Z &= \frac{1}{Y_1 + Y_2} = \frac{1}{\frac{1}{4 + j3} + \frac{1}{6 - j8}} = \frac{(4 + j3)(6 - j8)}{4 + j3 + 6 - j8} = \frac{48 - j14}{10 - j5} \\ &= \frac{(48 - j14)(10 + j5)}{125} = \frac{550 + j100}{125} = \frac{22 - j4}{5} \\ \left | Z \right | &= \sqrt{\left ( \frac{22}{5} \right)^2 + \left ( \frac{4}{5} \right )^2} \\ & \cong 4.47 \, [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left | I \right | = \frac{\left | E \right |}{\left | Z \right |} = \frac{100}{4.47} \cong 22.37 \, [\mbox{A}]} となる。

または、次式のように求めることもできる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left | I \right | = \sqrt{20^2 + 10^2} = 10 \sqrt{5} \, [\mbox{A}]}