ベクトル - 位置ベクトル

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概要

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、 $OA:AX=3:2$ であるとする。
この時、構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {OX}}} は、 ${\overrightarrow {OA}}$ を伸縮することによって表すことができ、 ${\overrightarrow {OX}}={\frac {5}{3}}{\overrightarrow {OA}}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル ${\overrightarrow {AC}}$ が構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、 ${\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある  $\iff {\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$  となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点 $A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$ をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである ${\vec {x}}$ は、 ${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$ を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベクトルの分解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベクトルの伸縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始点を O にする }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m+n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}\end{aligned}}}

内分点の位置ベクトル

2点 $A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点 $X({\vec {x}})$ において、 ${\vec {x}}$ は、  ${\vec {x}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$  と表すことができる。

この式 ${\vec {x}}={\dfrac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ の分子 $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$ は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点 $A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$ をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである ${\vec {x}}$ は、 ${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$ を用いて、次式のように表すことができる。
${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベクトルの分解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベクトルの伸縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始点を O にする }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m-n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}\end{aligned}}$

外分点の位置ベクトル

2点 $A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点 $X({\vec {x}})$ において、 ${\vec {x}}$ は、 ${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$  と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、 ${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、 ${\vec {x}}={\frac {-(-n{\vec {a}}+m{\vec {b}})}{-(m-n)}}={\frac {n{\vec {a}}-m{\vec {b}}}{n-m}}$ とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

例題1. 内分点と外分点の座標

原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。

内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\end{aligned}}$
上式に、 ${\overrightarrow {OA}}={\binom {a_{x}}{a_{y}}},\quad {\overrightarrow {OB}}={\binom {b_{x}}{b_{y}}}$ を用いると次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {n}{m+n}}{\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}+{\frac {m}{m+n}}{\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}\\&={\frac {1}{m+n}}{\dbinom {na_{x}}{na_{y}}}+{\frac {1}{m+n}}{\dbinom {mb_{x}}{mb_{y}}}\\&={\frac {1}{m+n}}{\dbinom {na_{x}+mb_{x}}{na_{y}+mb_{y}}}\end{aligned}}$
したがって、点Xの座標は ${\boldsymbol {\left({\frac {na_{x}+mb_{x}}{m+n}},\quad {\frac {na_{y}+mb_{y}}{m+n}}\right)}}$ となる。

また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OY}}&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\end{aligned}}$
これに、 ${\overrightarrow {OA}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\quad {\overrightarrow {OB}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$ を用いると次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {-n}{m-n}}{\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}+{\frac {m}{m-n}}{\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}\\&={\frac {1}{m-n}}{\dbinom {-na_{x}}{-na_{y}}}+{\frac {1}{m-n}}{\dbinom {mb_{x}}{mb_{y}}}\\&={\frac {1}{m-n}}{\dbinom {-na_{x}+mb_{x}}{-na_{y}+mb_{y}}}\end{aligned}}$
したがって、点Yの座標は、構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\boldsymbol {\left({\frac {-na_{x}+mb_{x}}{m-n}},\quad {\frac {-na_{y}+mb_{y}}{m-n}}\right)}}} となる。