ベクトル - 位置ベクトル
概要
内分点と外分点の位置ベクトル
ベクトルの伸縮
例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle OA:AX = 3:2}
であるとする。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OX}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA}}
を伸縮することによって表すことができ、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}}
と書くことができる。
3点が一直線上にある条件
3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}}
が構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}
を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}}
となる実数kが存在することである。
3点が一直線上にある条件
3点A、B、Cが一直線上にある 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}}
となる実数kが存在する
内分点の位置ベクトル
下図のように、点Oに関して、2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, m, n}
を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\ &= \left( 1 - \frac{m}{m + n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \end{align} }
内分点の位置ベクトル
2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A (\vec{a}), B(\vec{b})}
を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X(\vec{x})}
において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}}
と表すことができる。
この式構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}}
の分子 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\vec{a} + m\vec{b}}
は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。
外分点の位置ベクトル
下図のように、点Oに関して2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, m, n}
を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\ &= \left( 1 - \frac{m}{m - n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\ &= \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \end{align} }
外分点の位置ベクトル
2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X(\vec{x})}
において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}}
と表すことができる。
この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}}
は、分母・分子にー1を乗算することにより、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}}
とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。
