ベクトル - 位置ベクトル

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、$OA:AX=3:2$であるとする。
この時、${\overrightarrow {OX}}$は、${\overrightarrow {OA}}$を伸縮することによって表すことができ、${\overrightarrow {OX}}={\frac {5}{3}}{\overrightarrow {OA}}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル${\overrightarrow {AC}}$が${\overrightarrow {AB}}$を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、${\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある $\iff {\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである${\vec {x}}$は、${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。
${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 分 解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始 点 を O に す る }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m+n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}\end{aligned}}$

内分点の位置ベクトル

2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点$X({\vec {x}})$において、${\vec {x}}$は、 ${\vec {x}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ と表すことができる。

この式${\vec {x}}={\dfrac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ の分子 $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$ は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである${\vec {x}}$は、${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。
${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 分 解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始 点 を O に す る }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m-n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}\end{aligned}}$

外分点の位置ベクトル

2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点$X({\vec {x}})$において、${\vec {x}}$は、${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、${\vec {x}}={\frac {-(-n{\vec {a}}+m{\vec {b}})}{-(m-n)}}={\frac {n{\vec {a}}-m{\vec {b}}}{n-m}}$とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。