ベクトル - 位置ベクトル

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概要

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、 $OA:AX=3:2$ であるとする。
この時、 ${\overrightarrow {OX}}$ は、 ${\overrightarrow {OA}}$ を伸縮することによって表すことができ、 ${\overrightarrow {OX}}={\frac {5}{3}}{\overrightarrow {OA}}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル ${\overrightarrow {AC}}$ が ${\overrightarrow {AB}}$ を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、 ${\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある  $\iff {\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$  となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点 $A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$ をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである ${\vec {x}}$ は、 ${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$ を用いて、次式のように表すことができる。
${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベクトルの分解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベクトルの伸縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始点を O にする }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m+n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}\end{aligned}}$

内分点の位置ベクトル

2点 $A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$ を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点 $X({\vec {x}})$ において、 ${\vec {x}}$ は、  ${\vec {x}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$  と表すことができる。

この式 ${\vec {x}}={\dfrac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ の分子 $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$ は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。