回路計算 - 合成インピーダンス

RL並列回路の合成インピーダンス

RL並列回路は、抵抗RとコイルLが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.1 抵抗RとコイルLが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RL並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} は、次式で与えられる。
なお、角周波数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega = 2 \pi f} である。

• 複素数表示の場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{\dot{Z}} &= \dot{Y_1} + \dot{Y_2} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} \\ \dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \\ &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L} \\ &= \frac{j \omega RL (R - j \omega L)}{R^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} \\ &= \frac{\omega^2 R L^2}{R^2 + (\omega L)^2} + j \frac{\omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} \quad [\Omega] \end{align} }

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega \ge 0, \quad R > 0, \quad L > 0} であるため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Re(Z) = \frac{\omega^2 R L^2}{R^2 + (\omega L)^2} > 0, \quad \Im(Z) = \frac{\omega R^2 L}{R^2 + (\omega L)^2} > 0} となり、
RL並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} のベクトルの向きは、必ず右上向き(複素数平面の第1象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L}} \\ &= \frac{j \omega RL}{R + j \omega L} \\ \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega R L)^2}}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \\ &= \frac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \quad [\Omega] \end{align} }

RC並列回路の合成インピーダンス

RC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.2 抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{Z}} を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

RC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\frac {1}{\dot {Z}}}&={\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}={\frac {1}{R}}+j\omega C\\{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+j\omega C}}\\&={\frac {R}{1+j\omega RC}}\\&={\frac {R(1-j\omega RC)}{1+(\omega RC)^{2}}}\\&={\frac {R-j\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}\\&={\frac {R}{1+(\omega RC)^{2}}}-j{\frac {\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad C>0$であるため、
$\Re (Z)={\frac {R}{1+(\omega RC)^{2}}}>0,\quad \Im (Z)={\frac {\omega R^{2}C}{1+(\omega RC)^{2}}}>0$となり、
RC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず右下向き(複素数平面の第4象限)になる。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

${\begin{aligned}{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+j\omega C}}\\&={\frac {R}{1+j\omega RC}}\\\left|Z\right|&={\frac {\sqrt {R^{2}}}{\sqrt {1^{2}+(\omega RC)^{2}}}}\\&={\frac {R}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

LC並列回路の合成インピーダンス

LC並列回路は、抵抗RとコンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。

図.2 コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$を求める場合、
それぞれのインピーダンスの逆数(アドミタンス)を加算して、その逆数をとることにより求められる。

LC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、次式で与えられる。
なお、角周波数$\omega =2\pi f$である。

• 複素数表示の場合

${\begin{aligned}{\frac {1}{\dot {Z}}}&={\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}={\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C\\{\dot {Z}}&={\frac {1}{{\dot {Y_{1}}}+{\dot {Y_{2}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C}}\\&=j{\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\quad [\Omega ]\end{aligned}}$

$\omega \geq 0,\quad R>0,\quad L>0$であるため、
$\Re (Z)={\frac {\omega ^{2}RL^{2}}{R^{2}+(\omega L)^{2}}}=0,\quad -\infty <\Im (Z)={\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}<\infty$となり、
LC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$のベクトルの向きは、必ず、虚数軸上となる。

LC並列回路の合成インピーダンス${\dot {Z}}$は、上式の分母が正・負・ゼロの時、それぞれ${\dot {Z}}$のベクトルの向きが変わる。
したがって、$1-\omega ^{2}LC>0,\quad 1-\omega ^{2}LC<0,\quad 1-\omega ^{2}LC=0$の時で、場合分けして考える必要がある。

• $1-\omega ^{2}LC>0$の場合

  上式のリアクタンスが正になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きになる。

  
  

• $1-\omega ^{2}LC<0$の場合

  上式のリアクタンスが負になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の負の向きになる。

  
  

• $1-\omega ^{2}LC=0$の場合

  上式のリアクタンスが無限大になるため、合成インピーダンスのベクトルは、虚数軸上の正の向きに無限大となる。

  インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになる。

  
  

  また、$1-\omega ^{2}LC=0$ すなわち、$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ は、回路の共振条件である。

• 合成インピーダンスの大きさの場合

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \dot{Z} &= \frac{1}{\frac{1}{j \omega L} + j \omega C} \\ &= \frac{j \omega L}{1 - \omega^2 LC} \\ \left | Z \right | &= \frac{\sqrt{(\omega L)^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega^2 LC)^2}} \\ &= \left | \frac{\omega L}{\sqrt{1 + (\omega^2 LC)^2}} \right | \quad [\Omega] \end{align} }