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→逆写像
(→全単射) |
(→逆写像) |
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一般的に、写像はxの式で表すので、yをxに置き換えて次式のように表す。 | 一般的に、写像はxの式で表すので、yをxに置き換えて次式のように表す。 | ||
<math>f^{-1} (x) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}</math> | <math>f^{-1} (x) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}</math> | ||
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== 逆像 == | |||
定義 : | |||
始域Xから終域Yへの写像<math>f : X \rightarrow Y</math> とYの部分集合Bが与えられた時、<br> | |||
Xの部分集合 <math>f^{-1}(B) = \{ x \, | \, x \in X, \, \, f(x) \in B \}</math> をfによるBの逆像という。<br> | |||
補足 : | |||
多価写像に対しても、上と同様に逆像が定義される。 | |||
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== 写像の合成 == | |||
定義 : | |||
写像 <math>f: X \rightarrow Y</math> と写像 <math>g: Y \rightarrow Z</math> に対して、 | |||
<math>x \longmapsto g(f(x))</math> で定められる写像 <math>h: X \rightarrow Z</math> をfとgの合成写像といい、 | |||
<math>h = g \circ f \qquad \mbox{or} \qquad h(x) = g \circ f(x) \equiv g(f(x))</math> | |||
で表す。 | |||
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<center>図. 合成写像</center><br> | |||
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補足 : | |||
写像の合成は、合成の順序に依存することに注意する。 | |||
<math>g \circ f \ne f \circ g</math> | |||
例 : | |||
<math>f(x) = x^{2}, \quad g(x) = x + 1</math> の時、 | |||
<math>g \circ f(x) = g(f(x)) = g(x^{2}) = x^{2} + 1</math> | |||
<math>f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1</math> | |||
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