畳み込み積分

概要

次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。

この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。
$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(t-\tau )}d\tau$
​
$y(t)=f(t)*g(t)\quad {\mbox{あ る い は }}\quad y=f*g$ と記述されることもある。

また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。
${\begin{aligned}y(t)&=f*g=\int _{-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(t-\tau )}d\tau \\&=\int _{\infty }^{-\infty }{f(t-u)g(u)}(-1)du\quad \because u=t-\tau ,\quad -du=d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{g(u)f(t-u)}du\\&=g*f\end{aligned}}$

システムの安定性

BIBO安定条件
$|x(t)|<M\Longrightarrow |y(t)|<N$

因果性システムの線形時不変の場合、$\int _{0}^{\infty }|g(t)|dt<\infty$ で安定する。

畳み込み積分の計算例

下図に示す系があるとする。

入力関数 : $f(t)=1\quad \cdots \quad t\geq 0$
応答関数 : $g(t)=2\left(1-{\frac {t}{5}}\right)$

$y(t)=\int _{0}^{t}{f(\tau )g(t-\tau )}d\tau$ より、

$t<0$ の時
$f(\tau )$ と $g(t-\tau )$ の重なる部分が無いため、$y(t)=0$

$t=1$ の時
${\begin{aligned}y(t)&=\int _{0}^{1}{f(\tau )g(t-\tau )}d\tau \\&=\int _{0}^{1}{f(\tau )g(1-\tau )}d\tau \\&=\int _{0}^{1}{2(1-{\frac {1}{5}}+{\frac {\tau }{5}})}d\tau \\&=2\left[{\frac {4}{5}}\tau +{\frac {\tau ^{2}}{10}}\right]_{0}^{1}\\&=2\left({\frac {4}{5}}+{\frac {1}{10}}\right)\\&={\frac {9}{5}}\end{aligned}}$

$t=5$ の時
${\begin{aligned}y(t)&=\int _{0}^{5}{f(\tau )g(t-\tau )}d\tau \\&=\int _{0}^{5}{f(\tau )g(5-\tau )}d\tau \\&=\int _{0}^{5}{2(1-1+{\frac {\tau }{5}})}d\tau \\&=2\left[{\frac {\tau ^{2}}{10}}\right]_{0}^{5}\\&=2{\frac {5}{2}}\\&=5\end{aligned}}$

$0\leq t\leq 5$ の時
${\begin{aligned}y(t)&=\int _{0}^{t}{2(1-{\frac {t}{5}}+{\frac {\tau }{5}})}d\tau \\&=2\left[\tau -{\frac {t}{5}}\tau +{\frac {\tau ^{2}}{10}}\right]_{0}^{t}\\&=2\left(t-{\frac {t^{2}}{5}}+{\frac {t^{2}}{10}}\right)\\&=2t-{\frac {t^{2}}{5}}\end{aligned}}$

下図に、畳み込み積分の出力波形を示す。

${\begin{cases}y(t)&=0\quad \cdots \quad t<0\\y(t)&=2t-{\frac {t^{2}}{5}}\quad \cdots \quad 0\leq t\leq 5\\y(t)&=5\quad \cdots \quad t>0\end{cases}}$