情報理論 - ガロア体

概要

誤り検出能力や誤り訂正能力を高めるための基礎的な理論には、体と拡大体の考え方が用いられる。
ここでは、体と拡大体の基本的な考え方を記載する。

体

有理数の全体を構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Q} とする時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Q} は四則で閉じている。
すなわち、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a, b \in \Q} とすると、以下が成り立つ。
$a+b,\quad a-b,\quad ab,\quad b\neq 0{\mbox{ の と き }}{\frac {a}{b}}$

同様に、実数の全体を$\mathbb {R}$とする時、$\mathbb {R}$も四則で閉じている。

集合構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Q, \R} に限らず、四則で閉じている集合を体という。
特に、集合構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Q} を有理数体、集合構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \R} を実数体という。

下図に、群環体の定義を示す。

ガロア体

体には、要素数が有限のものもあり、これをガロア体(有限体)といい、要素数がq個であるガロア体をGF(q)で表す。
特に、GF(2)は0と1の要素から成り、加法と乗法の演算は下表のようになる。

GF(2)の加法演算では、1 + 1 = 0となることに注意すること。

また、加法についての単位元は0、乗法についての単位元は1である。

GF(2)の加法演算

+	0	1
0	0	1
1	1	0

GF(2)の乗法演算

×	0	1
0	0	0
1	0	1