ロピタルの定理

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概要

ロピタルの定理は、ある値構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c} の区間構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (- \infty \leqq c \leqq \infty)} を含むある区間Iがあり、関数構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f, \, g} はその内部で微分可能で、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim{x \to c} f(x) = \lim{x \to c} g(x)} かつその値が構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0} または構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \pm \infty} であり、
かつ、極限構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim {x \to c} {\frac{f'(x)}{g'(x)}}} が存在し、
かつ、区間Iにおける構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c} の除外近傍において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dg(x)}{dx} \ne 0} が成り立つならば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to c} {\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to c} {\frac{f'(x)}{g'(x)}}} であることを主張する。

つまり、分子と分母を微分することにより、不定形の分数を単純化あるいは非不定形に変換して、分数の極限値を簡単に計算できる可能性がある。

ロピタルの定理

ロピタルの定理は、以下に示す2つの条件が前提となっている。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}} が存在すること。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} の収束先(極限の近くで)が実数である場合、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dg(x)}{dx} \ne 0} となること。

定理 :

aを実数とする。
aの周辺（つまり、ある 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \gamma > 0}
 が存在して、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a - \gamma < x < a, \quad a < x < a + \gamma}
 )において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)}
 と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(x)}
 は微分可能とする。
また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0}
 とする。

この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}}
 が存在（実数に収束）し、
かつ、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{dg(x)}{dx} \ne 0 \quad (a - \gamma < x < a,, a < x < a + \gamma)}
 ならば、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}}

ロピタルの定理は、極限の計算のために微分を使用するが、微分の計算には極限の計算が必要である。
そのため、循環論法に陥ることがある。

例えば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin{x}} の微分を用いて構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}} を計算する場合、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin{x}} の微分の計算には構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}} が必要となる。

このような問題点もあるので、ロピタルの定理は値の確認用として使用することを推奨する。<vr>

ロピタルの定理が使用できる場合

例題1 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}}


解答 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}}{1} = 1}
⁡

例題2 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin{x}}{x^{3}}}


解答 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin{x}}{x^{3}} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{3x^{2}} \\  &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{6x} \\  &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}}{6} \\  &= \frac{1}{6}  \end{align}  }

例題3 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\log(x)}{x - 1}}


解答 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\log(x)}{x - 1} = \frac{1}{x} = 1}

例題4 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}}


解答 :
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} &= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^{x}} \\  &= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}} \\  &= 0  \end{align}  }

ロピタルの定理が使用できない場合

上記の2つの条件が成立していない場合は、ロピタルの定理は使用できない。
以下の例では、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{dg(x)}{dx}}} が存在するという条件が満たされない場合である。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle M = \lim_{x \to \infty} \frac{x - \cos{x}}{x}}

上記の例は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\infty}{\infty}} の不定形なのため、ロピタルの定理を使用すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \sin{x}}{1}} となり振動する。

この場合、はさみうちの原理を用いると構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle M = 1} であることがわかる。