回路計算 - RC直列回路

概要

RC直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下に示すような手順で解く。

1. 対象の回路の回路方程式をたてる。
2. 初期条件を考慮して、微分方程式または積分方程式を解く。

ここでは、RC直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。

電流の求め方

まず、RC直列回路の回路方程式をたてる。

回路に流れる電流を構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i(t)[A]} 、$i(0)=0[A]$とする時、次式(1)の微分方程式となる。
$Ri(t)+{\dfrac {1}{C}}\int _{0}{t}i(t)\,dt=E$ …(1)

(1)式をラプラス変換すると以下となる。
${\begin{aligned}RI(s)+{\dfrac {1}{sC}}I(s)-i(0)&={\frac {E}{s}}\\RI(s)+{\dfrac {1}{sC}}I(s)&={\frac {E}{s}}\end{aligned}}$
${\begin{array}{lcl}I(s)\left(R+{\dfrac {1}{sC}}\right)&=&{\dfrac {E}{s}}\\I(s)&=&{\dfrac {E}{s\left(R+{\dfrac {1}{sC}}\right)}}\\I(s)&=&{\dfrac {E}{sR+{\dfrac {1}{C}}}}\\I(s)&=&{\dfrac {E}{R}}{\dfrac {1}{s+{\dfrac {1}{RC}}}}\quad \dots {\mbox{(2)}}\end{array}}$

上式(2)を逆ラプラス変換する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i(t) = \dfrac{E}{R} e^{- \frac{1}{RC} t}}

したがって、RC直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて流れなくなる。

下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dfrac{E}{R}} から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)と0になる。
つまり、定常状態に達すると、コンデンサCはオープンされているのと同じということになる。

また、RC直列回路の時定数τは、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tau = \frac{1}{RC}} である。