概要
写像 (関数) とは、ある集合Aの全ての要素に対して、集合Bの要素をただ1つ返すものである。
この時、集合Aを始域または定義域、集合Bを終域、関数の対応先となり得る集合𝐵の部分集合を値域という。
写像の定義
定義 : 集合Aの全ての要素に対して、その要素を入力すると集合Bの特定の要素をただ1つ出力するものを関数 (function) または 写像 (mapping) という。 この時、集合Aをその写像の始域または定義域 (domain) といい、集合Bを終域 (codomain) という。 また、集合Aを入力したときの出力となり得る集合Bの部分集合全体を関数 (写像) の値域 (像 range) という。
写像についての注意点を、以下に示す。
- 始域Aの全ての要素において、終域Bの要素をただ1つ返すこと。
- 始域Bの要素であれば、どの要素を返してもよい。
始域Aの各々の要素に対して、終域Bの同じ要素を返してもよい。
また、終域Bの全ての要素を対応付ける必要はない。 - 終域は、値域と呼ばれることもある。
恒等写像
定義 :
集合X上の写像 (定義域Xと終域Xが同一である写像) において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \forall a \in X}
に対して 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f (a) = a}
が成り立つ時、 を 上の恒等写像という。
補足 :
は、集合Xの任意の要素aという意味である。
写像の表記
写像は関数 (function) の頭文字を用いて、 と表記されることが多い。
2つ以上の写像がある場合は、アルファベット順に 等と表記する。
始域が集合A、終域が集合Bである写像 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f}
を、 と記述する。
集合Aの各要素 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \in A}
に対して、それに対応する集合Bの要素が 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y \in B}
であるとき、これを 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = y}
または 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f : x \longmapsto y, \quad x \overset{f}{\longmapsto} y}
と記述する。
また，終域・値域は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(A) = \{ f(x) \in B | x \in A \}}
と記述する。
写像の例
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle R}
は実数全体の集合、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z}
は整数全体の集合を表す。
例題 1:
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f : \{ a, b, c, \cdots, z \} \longrightarrow \{ A, B, C, \cdots, Z \}}
があるとする。
この写像は、英語の小文字を入力する時、その大文字を出力する。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(a) = A, f(b) = B}
であり、終域・値域は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{ A, B, C, \cdots, Z \}}
である。
例題 2:
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f : \Z \longrightarrow \Z}
があるとする。
この写像は、整数を入力する時、2で剰余した値を出力する。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 3 \longmapsto 1, \quad 8 \longmapsto 0}
であり、値域は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{0, 1 \}}
である。
例題 3:
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f : \R \longrightarrow \R}
があるとする。
この写像は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = x^{2}}
と定義する。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(0) = 0, \quad f(2) = 4}
であり、値域は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \{ x \in R \, | \, x \ge 0 \}}
である。
単射
定義 :
始域Xから終域Yへの写像fが 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \forall x_{1} \in X, \quad \forall x_{2} \in X}
に対して、常に 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x_{1} \ne x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \ne f(x_{2})}
を満たす時、
写像fは単射 (１対１対応) であるという。
補足 :
対偶 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \forall x_{1} \in X, \quad \forall x_{2} \in X}
に対して、常に 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2}) \rightarrow x_{1} = x_{2} }
を満たす、と同義である。
図(b). 単射でない例