線形代数の基礎 - 行列の基本変形・rank・行列式の求め方

概要

ここでは、行列の基本変形の意味とその応用(rankや行列式の求め方)について記載する。

行基本変形

以下の3つの操作を行基本変形という。

• 操作 1 : i行目とj行目を交換する。
• 操作 2 : i行目をc倍する。(c≠0)
• 操作 3 : j行目のc倍をi行目に加える。

列基本変形

行の場合と同様に、以下の3つの操作を列基本変形という。

• 操作 1 : i列目とj列目を交換する。
• 操作 2 : i列目をc倍する。(c≠0)
• 操作 3 : j列目のc倍をi列目に加える。

列基本変形は、正則行列を右から乗算することに対応している。(行基本変形の場合と同様に説明できる)

行基本変形と正則行列

行基本変形は、正則行列を左から乗算することに対応している。
操作1から順に説明していく。

操作 1
単位行列のi行とj行を交換した行列P(i, j)を左から乗算することに対応している。

例えば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(2,3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} を3×3の行列構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}} に左から乗算すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}} となり、
2行目と3行目が交換される。
なお、P(i,j)の行列式は、−1なので正則である。

操作2
単位行列のii成分をcとした行列P(i;c)を左から乗算することに対応している。
例えば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(2;6) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} を構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}} に左から乗算すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 6a_{21} & 6a_{22} & 6a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}} となり、2行目が6倍される。
なお、P(i;c)の行列式はcなので正則である。

操作3
単位行列のij成分をcとした行列P(i,j;c)を左から乗算することに対応している。
例えば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(2,3;6) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} を構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}} に左から乗算すると、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + 6a_{31} & a_{22} + 6a_{32} & a_{23} + 6a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}} となり、
3行目の6倍が2行目に加算される。
なお、P(i,j;c)の行列式は1なので正則である。

行基本変形でrankを求める

与えられた行列に対して、行基本変形を繰り返す(適当な正則行列を左から乗算する)ことで、下図のような階段形にすることができる。

正則行列を乗算してもrankは変わらないので、この階段形の行列のrankは元の行列のrankと一致する。
そして、階段形の行列のrankは一瞬で求まる。(0でない成分がある行の数)

行基本変形で行列式を求める

与えられた正方行列Aに対して、行基本変形を繰り返す(適当な正則行列Sを左から乗算する)ことで、階段形R(上三角行列)にすることができる。
つまり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle SA = R} である。
したがって、$detSdetA=detR$であり、

• detRは、対角成分の積で簡単に求まる。
• detSも、変形の過程を見れば分かる。(操作2のcの積)

ので、detAが求まる。

備考 : 上三角行列と下三角行列

n×nの正方行列構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A = a_{ij}}
に於いて、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i > j}
ならば構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{ij} = 0}
を満たす行列を上三角行列
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i < j}
ならば構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{ij} = 0}
を満たす行列を下三角行列
という。

上三角行列は、対角成分よりも下側の成分が0である行列である。
3×3の例 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}}

下三角行列は、対角成分よりも上側の成分が0である行列である。
3×3の例 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}

上三角行列と下三角行列を総称して三角行列とよぶ。