回路計算 - RC直列回路

概要

RC直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下に示すような手順で解く。

1. 対象の回路の回路方程式をたてる。
2. 初期条件を考慮して、微分方程式または積分方程式を解く。

ここでは、RC直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。

電流の求め方

まず、RC直列回路の回路方程式をたてる。

回路に流れる電流を$i(t)[A]$、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i(0) = 0[A]} とする時、次式(1)の微分方程式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Ri(t) + \dfrac{1}{C} \int_{0}{t} i(t) \, dt = E} …(1)

(1)式をラプラス変換すると以下となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} RI(s) + \dfrac{1}{sC} I(s) - i(0) &= \frac{E}{s} \\ RI(s) + \dfrac{1}{sC} I(s) &= \frac{E}{s} \end{align} }
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{array}{lcl} I(s) \left( R + \dfrac{1}{sC} \right) &=& \dfrac{E}{s} \\ &=& \dfrac{E}{s \left( R + \dfrac{1}{sC} \right) } \\ &=& \dfrac{E}{sR + \dfrac{1}{C}} \\ &=& \dfrac{E}{R} \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{RC}} \quad \dots \mbox{(2)} \end{array} }

上式(2)を逆ラプラス変換する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i(t) = \dfrac{E}{R} e^{- \frac{1}{RC} t}}

したがって、RC直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて流れなくなる。

下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dfrac{E}{R}} から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)と0になる。
つまり、定常状態に達すると、コンデンサCはオープンされているのと同じということになる。

また、RC直列回路の時定数τは、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tau = \frac{1}{RC}} である。

抵抗Rに掛かる電圧の求め方

RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

抵抗Rにかかる電圧E_R(t)[V]は、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} E_R(t) &= i(t)R \\ &= \dfrac{E}{R} e^{- \frac{1}{RC} t} R \\ &= E e^{- \dfrac{1}{RC} t} \end{align} }

抵抗Rの電圧のグラフにおいて、電圧E_R(t)はi(t)にRを乗算しただけなので、i(t)と同じような形のグラフになる。
抵抗Rの電圧は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dfrac{E}{R}} [V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさは0[V]になる。

コンデンサCに掛かる電圧の求め方

RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

コンデンサCにかかる電圧E_C(t)[V]は、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} E_C(t) &= \dfrac{1}{C} \int {i(t) \, dt} \\ &= \dfrac{1}{C} \int {\dfrac{E}{R} e^{- \frac{1}{RC} t} \, dt} \\ &= \dfrac{E}{RC} \int {e^{- \frac{1}{RC} t} \, dt} \\ &= \dfrac{E}{RC} \dfrac{1}{- \dfrac{1}{RC}} e^{- \frac{1}{RC} t} + D \\ &= \frac{E}{RC} (- RC) e^{- \frac{1}{RC} t} + D \\ &= - E e^{- \frac{1}{RC} t} + D \end{align} }

初期条件として、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 0} の時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle E_{C} = 0} を利用する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle E_{C} (0) = - E e^{- \frac{1}{RC} t} + D}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} 0 &= -E \times 1 + D \\ 0 &= -E + D \\ D &= E \end{align} }

したがって、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} E_{C} (t) &= -E e^{- \frac{1}{RC} t} + E \\ &= E \left(1 - e^{- \frac{1}{RC} t} \right) \end{align} }
コンデンサCの電圧E_C(t)のグラフは、電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさはE[V]になる。

したがって、電源を投入した直後は、電源の電圧が全て抵抗に掛かるが、
定常状態に達すると抵抗には電圧がかからず、電圧は全てコンデンサにかかる。