ベクトル - 位置ベクトル
概要
内分点と外分点の位置ベクトル
ベクトルの伸縮
例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle OA:AX = 3:2}
であるとする。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OX}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA}}
を伸縮することによって表すことができ、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}}
と書くことができる。
3点が一直線上にある条件
3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}}
が構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}
を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}}
となる実数kが存在することである。
3点が一直線上にある条件
3点A、B、Cが一直線上にある 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}}
となる実数kが存在する
内分点の位置ベクトル
下図のように、点Oに関して、2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, m, n}
を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\ &= \left( 1 - \frac{m}{m + n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \end{align} }
内分点の位置ベクトル
2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A (\vec{a}), B(\vec{b})}
を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X(\vec{x})}
において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}}
と表すことができる。
この式構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}}
の分子 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\vec{a} + m\vec{b}}
は、上図の太線で表したように、下図のようにたすき掛けのような形になっている。
外分点の位置ベクトル
下図のように、点Oに関して2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, m, n}
を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\ &= \left( 1 - \frac{m}{m - n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\ &= \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \end{align} }
外分点の位置ベクトル
2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X(\vec{x})}
において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}}
と表すことができる。
この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}}
は、分母・分子にー1を乗算することにより、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}}
とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。
ベクトルの垂直条件
0ではない2つのベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
のなす角が90度の時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}}
と構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b}}
は垂直(perpendicular)であるといい、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\vec{a} \perp \vec{b}}}
と表す。
また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{0}}
は、全てのベクトルに対して垂直と定める。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
の内積は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{90^\circ} = 0}
となる。
これは、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}
ならば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} \perp \vec{b}}
といえる。
つまり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}
である。
また、成分表示された2つのベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}, \, \vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}}
が垂直である時、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dbinom{a_x}{a_y} \cdot \dbinom{b_x}{b_y} = 0 \, \Longleftrightarrow \, a_x b_x + a_y b_y = 0}
が成り立つ。
ベクトルの垂直条件
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} \neq \vec{0}, \, \vec{b} \neq \vec{0}}
であり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} = \dbinom{a_x}{a_y}, \, \vec{b} = \dbinom{b_x}{b_y}}
とする。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a} \perp \vec{b} \, \Longleftrightarrow \, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \, \Longleftrightarrow \, a_x b_x + a_y b_y = 0}
例題1. 内分点と外分点の座標
原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。 また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。
内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OX} &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} \\ &= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \end{align} }
上式に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = \binom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \binom{b_x}{b_y}}
を用いると次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OX} &= \frac{n}{m + n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m + n} \dbinom{b_x}{b_y} \\ &= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x}{na_y} + \frac{1}{m + n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\ &= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x + mb_x}{na_y + mb_y} \end{align} }
したがって、点Xの座標は構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol { \left( \frac{na_x + mb_x}{m + n}, \quad \frac{na_y + mb_y}{m + n} \right) }}
となる。
また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OY} &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\ &= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \end{align} }
これに、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = \dbinom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \dbinom{b_x}{b_y}}
を用いると次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OX} &= \frac{-n}{m - n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m - n} \dbinom{b_x}{b_y} \\ &= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x}{-na_y} + \frac{1}{m - n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\ &= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x + mb_x}{-na_y + mb_y} \end{align} }
したがって、点Yの座標は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }}
となる。
例題2. 3点が一直線上にある条件
△ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = \vec{b}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c}}
とおくと、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AQ} = \frac{- \vec{b} + 3 \vec{c}}{3 - 1} = \frac{- \vec{b} + 3 \vec{c}}{2}}
と表すことができる。
したがって、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = - \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c} \\ \overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AP} = - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c} \end{align}}
以上より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{PR} = \frac{2}{5} \overrightarrow{PQ}}
であり、P、Q、Rは同一直線上にある。
例題3. 重心の位置ベクトル
重心の定義 三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線(中線)は1点で交わり、その交点を三角形の重心という。 重心は、3つの中線それぞれを2:1に内分する。
△ABCの重心をGとする。
1. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AG}}
を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}
と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}}
を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})}
となるとき、重心の位置ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle G(\vec{g})}
を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}
で表せ。
- 1の解答
辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle BM:CM = 1:1}
であるから、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}}
となる。
また、重心の性質より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AG:GM = 2:1}
であるから、次式が求められる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{AG} &= \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} \\ &= \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \right) \\ &= \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \end{align} }
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AG} = \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} + \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AC}}
となる。
- 2の解答
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG}}
であるから、次式が求められる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OG} &= \vec{a} + \overrightarrow{AG} \\ &= \vec{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AG} = \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} + \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AC} \\ &= \vec{a} + \frac{1}{3} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\ &= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} \end{align} }
例題4. 外心の位置ベクトル
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AB = 3, BC = 7, CA = 5}
である△ABCがある。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \mbox{の 外 心 を O }}
とする時、以下の問いに答えよ。
1. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c}}
を求めよ。
2. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AO}}
を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b}}
と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{c}}
を用いて表せ。
- 1の解答
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \triangle ABC}
に 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle A}
から余弦定理を用いる。
余弦定理 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\theta}}
ベクトルの内積 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = AB \, AC \, \cos{\theta}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} AB \cdot AC \cdot \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\ &= \frac{9 + 25 - 49}{2} \\ &= - \frac{15}{2} \end{align} }
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c} = AB \cdot AC \cdot \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}}
- 2の解答
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AO} = x \vec{b} + y \vec{c}}
とおく。構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{DO}}
と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}
は直交するため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{AB} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AD} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b} \right) \cdot \vec{b} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{b} \right|^2 + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) - \frac{15}{2} y = 0 \qquad (1)}
また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{EO}}
と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}}
は直交するため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AE} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{c} \right) \cdot \vec{c} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{c} \right|^2 = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0 \qquad (2)}
式(1)，(2)を連立すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{cases} 6x - 5y &= 3 \\ -3x + 10y &= 5 \end{cases} \quad \mbox{よ り } \quad \begin{cases} x &= \frac{11}{9} \\ y &= \frac{13}{15} \\ \end{cases} }
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\overrightarrow{AO} = \frac{11}{9} \vec{b} + \frac{13}{15} \vec{c}}}
となる。
例題5. 内心の位置ベクトル
内心の定義 三角形の3つの内角の二等分線は、1点で交わる。この交点を、内心という。 内心は、3つの辺から等距離にあり、内心を中心として、△ABCに接する円を描くことができる。この円を、三角形の内接円という。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AB = c, BC = a, CA = b}
である△ABCの内心をIとする。
1. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AI}}
を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}
と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}}
を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})}
となる時、内心の位置ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle I(\vec{i})}
を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}
で表せ。
- 1の解答
直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle{BAD} = \angle{CAD}}
である。
角の二等分線の定理より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle BD:DC=c:b}
となるから、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}}
は次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AD} = \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{BD} = \frac{c}{b + c} \times a = \frac{ac}{b + c}}
また、内心の定義より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle{ABI} = \angle{DBI}}
である。
角の二等分線の定理より、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AI : ID = AB : BD}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c : \frac{ac}{b + c} = b + c : a}
上式より、次式が求まる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{AI} &= \frac{AI}{AD} \overrightarrow{AD} \\ &= \frac{b + c}{a + b + c} \times \left( \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC} \right) \\ &= \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \end{align} }
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}}}
となる。
- 2の解答
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}}
であるから、次式が求められる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OI} &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{ c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \\ &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \qquad \because \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} \\ &= \frac{a + b + c}{a + b + c} \, \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \\ &= \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b} + \frac{c}{a + b + c} \vec{c} \end{align} }
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}}
となる。
