ベクトル - 位置ベクトル

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、$OA:AX=3:2$であるとする。
この時、${\overrightarrow {OX}}$は、${\overrightarrow {OA}}$を伸縮することによって表すことができ、${\overrightarrow {OX}}={\frac {5}{3}}{\overrightarrow {OA}}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル${\overrightarrow {AC}}$が${\overrightarrow {AB}}$を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、${\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある $\iff {\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである${\vec {x}}$は、${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。

${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 分 解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始 点 を O に す る }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m+n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}\end{aligned}}$

内分点の位置ベクトル

2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点$X({\vec {x}})$において、${\vec {x}}$は、 ${\vec {x}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ と表すことができる。

この式${\vec {x}}={\dfrac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ の分子 $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$ は、上図の太線で表したように、下図のようにたすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである${\vec {x}}$は、${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。

${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 分 解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始 点 を O に す る }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m-n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}\end{aligned}}$

外分点の位置ベクトル

2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点$X({\vec {x}})$において、${\vec {x}}$は、${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、${\vec {x}}={\frac {-(-n{\vec {a}}+m{\vec {b}})}{-(m-n)}}={\frac {n{\vec {a}}-m{\vec {b}}}{n-m}}$とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

ベクトルの垂直条件

0ではない2つのベクトル${\vec {a}},{\vec {b}}$ のなす角が90度の時、${\vec {a}}$と${\vec {b}}$ は垂直(perpendicular)であるといい、${\boldsymbol {{\vec {a}}\perp {\vec {b}}}}$と表す。
また、${\vec {0}}$ は、全てのベクトルに対して垂直と定める。

この時、${\vec {a}},{\vec {b}}$ の内積は、${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos {90^{\circ }}=0$ となる。
これは、${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ ならば、${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$ といえる。
つまり、${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ である。

また、成分表示された2つのベクトル${\vec {a}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\,{\vec {b}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$が垂直である時、
${\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}\cdot {\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}=0\,\Longleftrightarrow \,a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0$ が成り立つ。

ベクトルの垂直条件

${\vec {a}}\neq {\vec {0}},\,{\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ であり、${\vec {a}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\,{\vec {b}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$ とする。
${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\,\Longleftrightarrow \,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0\,\Longleftrightarrow \,a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0$

例題1. 内分点と外分点の座標

原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。

内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\end{aligned}}$
上式に、${\overrightarrow {OA}}={\binom {a_{x}}{a_{y}}},\quad {\overrightarrow {OB}}={\binom {b_{x}}{b_{y}}}$を用いると次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {n}{m+n}}{\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}+{\frac {m}{m+n}}{\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}\\&={\frac {1}{m+n}}{\dbinom {na_{x}}{na_{y}}}+{\frac {1}{m+n}}{\dbinom {mb_{x}}{mb_{y}}}\\&={\frac {1}{m+n}}{\dbinom {na_{x}+mb_{x}}{na_{y}+mb_{y}}}\end{aligned}}$
したがって、点Xの座標は${\boldsymbol {\left({\frac {na_{x}+mb_{x}}{m+n}},\quad {\frac {na_{y}+mb_{y}}{m+n}}\right)}}$となる。

また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OY}}&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\end{aligned}}$
これに、${\overrightarrow {OA}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\quad {\overrightarrow {OB}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$を用いると次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {-n}{m-n}}{\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}+{\frac {m}{m-n}}{\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}\\&={\frac {1}{m-n}}{\dbinom {-na_{x}}{-na_{y}}}+{\frac {1}{m-n}}{\dbinom {mb_{x}}{mb_{y}}}\\&={\frac {1}{m-n}}{\dbinom {-na_{x}+mb_{x}}{-na_{y}+mb_{y}}}\end{aligned}}$
したがって、点Yの座標は、${\boldsymbol {\left({\frac {-na_{x}+mb_{x}}{m-n}},\quad {\frac {-na_{y}+mb_{y}}{m-n}}\right)}}$ となる。

例題2. 3点が一直線上にある条件

△ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。

${\overrightarrow {AB}}={\vec {b}},\quad {\overrightarrow {AC}}={\vec {c}}$ とおくと、${\overrightarrow {AQ}}={\frac {-{\vec {b}}+3{\vec {c}}}{3-1}}={\frac {-{\vec {b}}+3{\vec {c}}}{2}}$ と表すことができる。

したがって、
${\begin{aligned}{\overrightarrow {PQ}}&={\overrightarrow {AQ}}-{\overrightarrow {AP}}=-{\frac {5}{6}}{\vec {b}}+{\frac {3}{2}}{\vec {c}}\\{\overrightarrow {PR}}&={\overrightarrow {AR}}-{\overrightarrow {AP}}=-{\frac {1}{3}}{\vec {b}}+{\frac {3}{5}}{\vec {c}}\end{aligned}}$

以上より、${\overrightarrow {PR}}={\frac {2}{5}}{\overrightarrow {PQ}}$ であり、P、Q、Rは同一直線上にある。

例題3. 重心の位置ベクトル

重心の定義

三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線(中線)は1点で交わり、その交点を三角形の重心という。
重心は、3つの中線それぞれを2:1に内分する。

△ABCの重心をGとする。

1. ${\overrightarrow {AG}}$ を ${\overrightarrow {AB}}$ と ${\overrightarrow {AC}}$ を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、$A({\vec {a}}),B({\vec {b}}),C({\vec {c}})$ となるとき、重心の位置ベクトル$G({\vec {g}})$ を ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ で表せ。

• 1の解答

辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より$BM:CM=1:1$ であるから、${\overrightarrow {AM}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AC}}$ となる。
また、重心の性質より、$AG:GM=2:1$ であるから、次式が求められる。

${\begin{aligned}{\overrightarrow {AG}}&={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {AM}}\\&={\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AC}}\right)\\&={\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AC}}\end{aligned}}$

したがって、${\overrightarrow {AG}}={\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AB}}+{\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AC}}$ となる。

• 2の解答

${\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AG}}$ であるから、次式が求められる。

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OG}}&={\vec {a}}+{\overrightarrow {AG}}\\&={\vec {a}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AC}}\qquad \because {\overrightarrow {AG}}={\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AB}}+{\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AC}}\\&={\vec {a}}+{\frac {1}{3}}\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\vec {c}}-{\vec {a}}\right)\\&={\frac {1}{3}}{\vec {a}}+{\frac {1}{3}}{\vec {b}}+{\frac {1}{3}}{\vec {c}}\end{aligned}}$

例題4. 外心の位置ベクトル

$AB=3,BC=7,CA=5$ である△ABCがある。

${\overrightarrow {AB}}={\vec {b}},\,{\overrightarrow {AC}}={\vec {c}},\,\triangle ABC{\mbox{の 外 心 を O }}$ とする時、以下の問いに答えよ。

1. ${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$ を求めよ。
2. ${\overrightarrow {AO}}$ を ${\vec {b}}$ と ${\vec {c}}$ を用いて表せ。

例題5. 内心の位置ベクトル

内心の定義

三角形の3つの内角の二等分線は、1点で交わる。この交点を、内心という。
内心は、3つの辺から等距離にあり、内心を中心として、△ABCに接する円を描くことができる。この円を、三角形の内接円という。

$AB=c,BC=a,CA=b$ である△ABCの内心をIとする。

1. ${\overrightarrow {AI}}$ を ${\overrightarrow {AB}}$ と ${\overrightarrow {AC}}$ を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、$A({\vec {a}}),B({\vec {b}}),C({\vec {c}})$ となる時、内心の位置ベクトル$I({\vec {i}})$ を ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ で表せ。

• 1の解答

直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より$\angle {BAD}=\angle {CAD}$ である。
角の二等分線の定理より、$BD:DC=c:b$ となるから、${\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {BC}}$ は次式となる。
${\overrightarrow {AD}}={\frac {b}{b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{b+c}}{\overrightarrow {AC}}$
${\overrightarrow {BD}}={\frac {c}{b+c}}\times a={\frac {ac}{b+c}}$

また、内心の定義より、$\angle {ABI}=\angle {DBI}$ である。
角の二等分線の定理より、次式となる。
$AI:ID=AB:BD$
構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c:{\frac {ac}{b+c}}=b+c:a}

上式より、次式が求まる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {AI}}&={\frac {AI}{AD}}{\overrightarrow {AD}}\\&={\frac {b+c}{a+b+c}}\times \left({\frac {b}{b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{b+c}}{\overrightarrow {AC}}\right)\\&={\frac {b}{a+b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{a+b+c}}{\overrightarrow {AC}}\end{aligned}}$

したがって、構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\boldsymbol {{\overrightarrow {AI}}={\frac {b}{a+b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{a+b+c}}{\overrightarrow {AC}}}}} となる。

• 2の解答

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}$であるから、次式が求められる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OI}}&={\vec {a}}+{\frac {b}{a+b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{a+b+c}}{\overrightarrow {AC}}\qquad \because {\overrightarrow {AI}}={\frac {b}{a+b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{a+b+c}}{\overrightarrow {AC}}\\&={\vec {a}}+{\frac {b}{a+b+c}}\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)+{\frac {c}{a+b+c}}\left({\vec {c}}-{\vec {a}}\right)\qquad \because {\overrightarrow {AB}}={\vec {b}}-{\vec {a}},\quad {\overrightarrow {AC}}={\vec {c}}-{\vec {a}}\\&={\frac {a+b+c}{a+b+c}}\,{\vec {a}}+{\frac {b}{a+b+c}}\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)+{\frac {c}{a+b+c}}\left({\vec {c}}-{\vec {a}}\right)\\&={\frac {a}{a+b+c}}{\vec {a}}+{\frac {b}{a+b+c}}{\vec {b}}+{\frac {c}{a+b+c}}{\vec {c}}\end{aligned}}$

したがって、${\boldsymbol {{\vec {i}}={\frac {a}{a+b+c}}{\vec {a}}+{\frac {b}{a+b+c}}{\vec {b}}}}$ となる。