ロルの定理

概要

ロルの定理は、微積分における重要な定理の1つである。

ロルの定理は、閉区間[a, b]で連続であり、開区間(a,b)で微分可能な関数f(x)について、この関数が区間の両端で同じ値をとる $f(a)=f(b)$ である場合、
区間(a, b)の中に少なくとも1点cが存在し、その点で ${\dfrac {df(c)}{dt}}=0$ となることを保証する。

この定理の直感的な理解として、両端が同じ高さの点を結ぶ滑らかな曲線を考える時、その途中には必ず水平な接線を持つ点が存在するはずである。
これが、${\dfrac {df(c)}{dt}}=0$ となる点cである。

ロルの定理の適用例として、方程式の解の存在証明や一般的な平均値の定理の証明の基礎となっている。
また、関数の極値問題を解く時の理論的根拠としても用いられる。

定理の前提条件において、以下に示す3つ全てが必要である。
これらの条件のいずれかが満たされない場合、定理は成立しない可能性がある。

• 関数が閉区間[a, b]で連続であること
• 開区間(a,b)で微分可能であること
• $f(a)=f(b)$ を満たすこと

この定理の反例として、区間の端点で不連続な関数や区間内で微分不可能な関数 (例えば絶対値関数) を考えることができる。
これらの例は、定理の前提条件がなぜ必要なのかを理解する助けとなる。

ロルの定理は、一般的な平均値の定理の特殊な場合として位置付けることもできる。
平均値の定理では、関数の両端の値が異なる場合でも、その区間内に特定の性質を持つ点が存在することを示している。

最大値の定理

定理 :

有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。

ロルの定理

定理 :

区間 $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能、$f(a)=f(b)$ である関数 $f(x)$ に対して、

$a<c<b$ なる $c$ で ${\frac {df(c)}{dx}}=0$ を満たす $c$ が存在する。

証明 :

* $f(x)$ が区間内で定数関数の時、$a<c<b$ なる任意の $c$ で ${\frac {df(c)}{dx}}=0$ となる。

* $f(a)<f(t)$ なる $t$ が存在する時、最大値の定理より、$a<c<b$ で $c$ が最大となるような $c$ が存在する。
この時、${\frac {df(c)}{dx}}=0$ を証明する。

$f(x)$ が $x=c$ で微分可能であることと、$f(c)\geqq f(c+h)$ より、
${\frac {df(c)}{dx}}=\lim {h\to +0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leqq 0$
${\frac {df(c)}{dx}}=\lim {h\to -0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geqq 0$
つまり、
${\frac {df(c)}{dx}}=0$

* $f(a)>f(t)$ なる $t$ が存在する時も同様 （最小値を考える）

平均値の定理

定理 :

区間 $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、
$a<c<b$ なる $c$ で ${\frac {df(c)}{dx}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ を満たす $c$ が存在する。

$f(a)=f(b)$ なる関数に、平均値の定理を用いるとロルの定理が出てくる。
つまり、平均値の定理はロルの定理の一般化である。

平均値の定理はロルの定理の一般化と看做せるが、ロルの定理から簡単に導出することもできる。
ロルの定理を用いるために、関数 $f(x)$ に1次関数を加えてロルの定理の条件「両端の値が等しい」ことを満たすような関数 $g(x)$ を作る。

証明 :

関数 $g(x)=f(x)+Ax$ を考える。
$g(a)=g(b)$ となるような $A$ を探す。

$f(a)+Aa=f(b)+Ab$
$\implies A(a-b)=f(b)-f(a)$
$\implies A={\frac {f(b)-f(a)}{a-b}}$
$\implies A=-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

つまり、$g(x)=f(x)-x{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ ​という関数は、$g(a)=g(b)$ を満たす。
したがって、ロルの定理が使用することができ、$a<c<b$ なる $c$ で ${\frac {dg(c)}{dx}}=0$ を満たす $c$ が存在する。

${\frac {dg(c)}{dx}}={\frac {df(c)}{dx}}-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ であるため、平均値の定理は示される。