回路計算 - スターデルタ変換

概要

スター結線 (Y結線) は、3つの巻線の一端を共通の中性点 (ニュートラルポイント) で接続する方式である。
形状が「Y」の文字に似ていることから、Y結線とも呼ばれている。

スター結線では、各相の電圧 (相電圧) は線間電圧の ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ となる。
主に、変圧器の低圧側や誘導電動機の固定子巻線で使用されており、家庭用電源としても広く採用されている。

デルタ結線 (Δ結線) は、3つの巻線を三角形状に接続する方式である。
ギリシャ文字のΔ (デルタ) に形状が似ていることから、この名称がついている。

デルタ結線では、相電流は線電流の ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ となる。
主に、変圧器の高圧側や大型の誘導電動機で使用されることが多く、大電流に適している。

これら2つの結線方式の主な特徴を比較する。

• スター結線

  中性点があるため、単相負荷にも対応可能

  絶縁耐力の面で有利

  小電流向き

• デルタ結線

  大電流に適している

  相間の電圧と線間の電圧が等しい

  故障時でも運転継続が可能な場合がある

実際の使用場面では、これらの特徴を考慮して使い分けられる。
例えば、配電系統では需要家側 (低圧側) にスター結線を、送電側 (高圧側) にデルタ結線を採用することが一般的である。

また、変圧器では1次側と2次側で異なる結線方式を組み合わせることにより、位相差の調整なども行っている。

これらの結線方式は、電気設備の設計や保守において非常に重要な基礎知識となる。

Y-Δ変換 (スターデルタ変換)

スター結線 (Y結線) とデルタ結線 (Δ結線) は、互いに等価な回路に変換することができる。
スター結線 (Y結線) を等価なデルタ結線 (Δ結線) に変換する時、この変換をスターデルタ変換という。

スターデルタ変換は、スターデルタ等価変換と呼ばれることもある。

抵抗値の変換

スター結線の抵抗をR_A、R_B、R_C、変換後のデルタ結線の抵抗をR_AB、R_BC、R_CAとする時、次式で求められる。

${\begin{array}{lcl}R_{AB}&={\frac {(R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A})}{R_{C}}}\\R_{BC}&={\frac {(R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A})}{R_{A}}}\\R_{CA}&={\frac {(R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A})}{R_{B}}}\end{array}}$
上式は、分子が3つの抵抗値の積の組み合わせの和となっており、分母がその対角に位置する抵抗値となっていることが特徴である。

分子部分をZとおいて、$Z=R_{A}\,R_{B}+R_{B}\,R_{C}+R_{C}\,R_{A}$ とする時、次式のように表すこともできる。
次式のように整理する場合、計算がより簡単になる。
${\begin{array}{lcl}R_{AB}&={\frac {Z}{R_{C}}}\\R_{BC}&={\frac {Z}{R_{A}}}\\R_{CA}&={\frac {Z}{R_{B}}}\end{array}}$
この変換式を使用することにより、スター結線の回路を等価なデルタ結線の回路に変換することができる。

なお、3つの抵抗が同じ場合は、$R=R_{A}=R_{B}=R_{C}$ となり、
${\begin{aligned}R_{AB}&={\frac {3R^{2}}{R}}\\&=3R\\R_{BC}&={\frac {3R^{2}}{R}}\\&=3R\\R_{CA}&={\frac {3R^{2}}{R}}\\&=3R\\\end{aligned}}$

$\therefore R_{AB}=3R\quad R_{BC}=3R\quad R_{CA}=3R$

となるため、スターデルタ変換後のデルタ結線 (Δ結線) の抵抗値は、スター結線 (Y結線) の抵抗値の3倍になる。