ベクトル - 位置ベクトル

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle OA:AX = 3:2} であるとする。
この時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OX}} は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} を伸縮することによって表すことができ、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}} と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル${\overrightarrow {AC}}$が構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}} となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}}
 となる実数kが存在する

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})} をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}} は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, m, n} を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\ &= \left( 1 - \frac{m}{m + n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \end{align} }

内分点の位置ベクトル

2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A (\vec{a}), B(\vec{b})}
を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X(\vec{x})}
において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}}
 と表すことができる。

この式構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}} の分子 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n\vec{a} + m\vec{b}} は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})} をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}} は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, m, n} を用いて、次式のように表すことができる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\ &= \left( 1 - \frac{m}{m - n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\ &= \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n} \end{align} }

外分点の位置ベクトル

2点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b})}
を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle X(\vec{x})}
において、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}}
 と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}} は、分母・分子にー1を乗算することにより、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}} とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

例題1. 内分点と外分点の座標

原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。

内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OX} &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} \\ &= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \end{align} }
上式に、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = \binom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \binom{b_x}{b_y}} を用いると次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OX} &= \frac{n}{m + n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m + n} \dbinom{b_x}{b_y} \\ &= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x}{na_y} + \frac{1}{m + n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\ &= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x + mb_x}{na_y + mb_y} \end{align} }
したがって、点Xの座標は構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol { \left( \frac{na_x + mb_x}{m + n}, \quad \frac{na_y + mb_y}{m + n} \right) }} となる。

また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OY} &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\ &= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \end{align} }
これに、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = \dbinom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \dbinom{b_x}{b_y}} を用いると次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OX} &= \frac{-n}{m - n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m - n} \dbinom{b_x}{b_y} \\ &= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x}{-na_y} + \frac{1}{m - n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\ &= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x + mb_x}{-na_y + mb_y} \end{align} }
したがって、点Yの座標は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }} となる。