📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
このWebサイトは2026年9月に閉鎖いたします。
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また、これらは商に関しても閉じている。<br> | |||
上表より、<math>\omega (1 + \omega) = 1</math>であるから、<math>\omega = (\omega + 1)^{-1}</math>である。<br> | |||
これは、<u><math>1 + \omega</math>の逆元<math>(1 + \omega)^{-1}</math>は、<math>1 + \omega</math>との積が1となる元である</u>ことを意味する。<br> | |||
<math>\frac{\omega}{1 + \omega} = \omega (1 + \omega)^{-1} = \omega \times \omega = \omega^2 = \omega + 1</math><br> | |||
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以上のように、集合<math>\{0, 1, \omega, \omega + 1 \}</math>は、四則において閉じており、体である。<br> | |||
この体のことをGF(2<sup>2</sup>)と表し、<u>GF(2)の2次の拡大体</u>という。<br> | |||
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GF(2<sup>2</sup>)の要素の累乗表示において、<math>\omega^2 = \omega + 1, \quad \omega^3 = \omega \times \omega^2 = \omega (\omega + 1) = 1</math>より、<br> | |||
<math>GF(2^2) = \{ 0, 1, \omega, \omega^2 \}</math>となる。<br> | |||
すなわち、集合GF(2<sup>2</sup>)は、以下の2つの表示をすることができる。<br> | |||
* 線形表示 | |||
*: <math>GF(2^2) = \{ 0, 1, \omega, \omega + 1 \}</math> まとめて <math>\{ a + b \omega; a, b \in GF(2) \}</math> | |||
* 累乗表示 | |||
*: <math>GF(2^2) = \{ 0, 1, \omega, \omega^2 \}</math> まとめて <math>\{ 0, \omega^{i}; i = 0, 1, 2 \}</math> | |||
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累乗表示の性質から、ωをGF(2<sup>2</sup>)の原始根といい、ωを根にもつ<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>をGF(2<sup>2</sup>)の原始多項式という。<br> | |||
さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br> | |||
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