回路計算 - RC直列回路

概要

RC直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下に示すような手順で解く。

1. 対象の回路の回路方程式をたてる。
2. 初期条件を考慮して、微分方程式または積分方程式を解く。

ここでは、RC直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。

電流の求め方

まず、RC直列回路の回路方程式をたてる。

回路に流れる電流を$i(t)[A]$、$i(0)=0[A]$とする時、次式(1)の微分方程式となる。
$Ri(t)+{\dfrac {1}{C}}\int _{0}{t}i(t)\,dt=E$ …(1)

(1)式をラプラス変換すると以下となる。
${\begin{aligned}RI(s)+{\dfrac {1}{sC}}I(s)-i(0)&={\frac {E}{s}}\\RI(s)+{\dfrac {1}{sC}}I(s)&={\frac {E}{s}}\end{aligned}}$
${\begin{array}{lcl}I(s)\left(R+{\dfrac {1}{sC}}\right)&=&{\dfrac {E}{s}}\\I(s)&=&{\dfrac {E}{s\left(R+{\dfrac {1}{sC}}\right)}}\\I(s)&=&{\dfrac {E}{sR+{\dfrac {1}{C}}}}\\I(s)&=&{\dfrac {E}{R}}{\dfrac {1}{s+{\dfrac {1}{RC}}}}\quad \dots {\mbox{(2)}}\end{array}}$

上式(2)を逆ラプラス変換する。
$i(t)={\dfrac {E}{R}}e^{-{\frac {1}{RC}}t}$

したがって、RC直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて流れなくなる。

下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は ${\dfrac {E}{R}}$ から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)と0になる。
つまり、定常状態に達すると、コンデンサCはオープンされているのと同じということになる。

また、RC直列回路の時定数τは、$\tau ={\frac {1}{RC}}$ である。

抵抗Rに掛かる電圧の求め方

RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

抵抗Rにかかる電圧E_R(t)[V]は、次式となる。
${\begin{aligned}E_{R}(t)&=i(t)R\\&={\dfrac {E}{R}}e^{-{\frac {1}{RC}}t}R\\&=Ee^{-{\dfrac {1}{RC}}t}\end{aligned}}$

抵抗Rの電圧のグラフにおいて、電圧E_R(t)はi(t)にRを乗算しただけなので、i(t)と同じような形のグラフになる。
抵抗Rの電圧は ${\dfrac {E}{R}}$ [V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさは0[V]になる。

ファイル:RC Circuit 3.jpg

コンデンサCに掛かる電圧の求め方

RC直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

コンデンサCにかかる電圧E_C(t)[V]は、次式となる。
${\begin{aligned}E_{C}(t)&={\dfrac {1}{C}}\int {i(t)\,dt}\\&={\dfrac {1}{C}}\int {{\dfrac {E}{R}}e^{-{\frac {1}{RC}}t}\,dt}\\&={\dfrac {E}{RC}}\int {e^{-{\frac {1}{RC}}t}\,dt}\\&={\dfrac {E}{RC}}{\dfrac {1}{-{\dfrac {1}{RC}}}}e^{-{\frac {1}{RC}}t}+D\\&={\frac {E}{RC}}(-RC)e^{-{\frac {1}{RC}}t}+D\\&=-Ee^{-{\frac {1}{RC}}t}+D\end{aligned}}$

初期条件として、$t=0$ の時、$E_{C}=0$ を利用する。
$E_{C}(0)=-Ee^{-{\frac {1}{RC}}t}+D$

${\begin{aligned}0&=-E\times 1+D\\0&=-E+D\\D&=E\end{aligned}}$

したがって、
${\begin{aligned}E_{C}(t)&=-Ee^{-{\frac {1}{RC}}t}+E\\E_{C}(t)&=E\left(1-e^{-{\frac {1}{RC}}t}\right)\end{aligned}}$
コンデンサCの電圧E_C(t)のグラフは、電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさはE[V]になる。

したがって、電源を投入した直後は、電源の電圧が全て抵抗に掛かるが、
定常状態に達すると抵抗には電圧がかからず、電圧は全てコンデンサにかかる。