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「ベクトル - 位置ベクトル」の版間の差分

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  3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
  3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
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例. <math>\overrightarrow{OP} = 2 \vec{a} +3 \vec{b}, \, \overrightarrow{OQ} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b}, \, \overrightarrow{OR} = \vec{a} + 10 \vec{b}</math> の時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明する。<br>
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<math>\overrightarrow{PQ} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = \vec{a} - 7 \vec{b}</math><br>
<math>\overrightarrow{PR} = \vec{a} + 10 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = - \vec{a} + 7 \vec{b}</math><br>
<math>\overrightarrow{PR} = - \overrightarrow{PQ}</math> が成り立つ。<br>
ゆえに、3点P、Q、Rは一直線上にある。<br>
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==== 内分点の位置ベクトル ====
==== 内分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
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  1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
  1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
  2. <math>\overrightarrow{AO}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
  2. <math>\overrightarrow{AO}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
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* 1の解答
<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>
余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\theta}</math><br>
ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}</math><br>
<br>
<math>
\begin{align}
|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\
&= \frac{9 + 25 - 49}{2} \\
&= - \frac{15}{2}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>
<br>
* 2の解答
<math>\overrightarrow{AO} = x \vec{b} + y \vec{c}</math> とおく。<math>\overrightarrow{DO}</math> と <math>\overrightarrow{AB}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AD} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b} \right) \cdot \vec{b} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{b} \right|^2 + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) - \frac{15}{2} y = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 18x - 15y = 9</math><br>
<math>\Leftrightarrow 6x - 5y = 3 \qquad (1)</math><br>
<br>
また、<math>\overrightarrow{EO}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AE} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{c} \right) \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{c} \right|^2 = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow - 15x + 50y = 25</math><br>
<math>\Leftrightarrow - 3x + 10y = 5 \qquad (2)</math><br>
<br>
式(1)，(2)を連立すると、<br>
<math>
\begin{cases}
6x - 5y  &= 3 \\
-3x + 10y &= 5
\end{cases}
\quad \mbox{よ り } \quad
\begin{cases}
x &= \frac{11}{9}  \\
y &= \frac{13}{15} \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AO} = \frac{11}{9} \vec{b} + \frac{13}{15} \vec{c}}</math> となる。<br>
<br>
<br>


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==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====
==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====
  内心の定義
  内心の定義
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したがって、<math>\boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}</math> となる。<br>
したがって、<math>\boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}</math> となる。<br>
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==== 例題6. 垂心の位置ベクトル ====
<math>AB = 5, \, BC = 6, \, CA = 4</math> である <math>\triangle ABC</math> がある。
<math>\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \, \mbox{の 垂 心 を } H</math> とする時、以下の問いに答えよ。
1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
2. <math>\overrightarrow{AH}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
<br>
[[ファイル:Position Vector 11.png|フレームなし|中央]]
<br>
* 1の解答
<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>
余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \, AB \, AC \, \cos{\theta}</math><br>
ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}</math><br>
<br>
<math>
\begin{align}
|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\
&= \frac{25 + 16 - 36}{2} \\
&= - \frac{5}{2}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>
<br>
* 2の解答
<math>\overrightarrow{AH} = x \vec{b} + y \vec{c}</math> とおく。<math>\overrightarrow{CH}</math> と <math>\overrightarrow{AB}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{c} \right) \cdot \vec{b} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \left| \vec{b} \right|^2 + (y - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 25x + (y - 1) \frac{5}{2} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 25x +  \frac{5}{2} y = \frac{5}{2}</math><br>
<math>\Leftrightarrow 10x + y = 1 \qquad (1)</math><br>
<br>
また、<math>\overrightarrow{BH}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left(x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{b} \right) \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow (x - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} + y \left| \vec{c} \right|^2 = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow (x - 1) \frac{5}{2} + 16y = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \frac{5}{2}x + 16y = \frac{5}{2}</math><br>
<math>\Leftrightarrow 5x + 32y = 5 \qquad (2)</math><br>
<br>
式(1)，(2)を連立すると、<br>
<math>
\begin{cases}
10x + y  &= 1 \\
5x + 32y &= 5
\end{cases}
\quad \mbox{よ り } \quad
\begin{cases}
x &= \frac{3}{35}  \\
y &= \frac{1}{7} \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AH} = \frac{3}{35} \vec{b} + \frac{1}{7} \vec{c}}</math> となる。<br>
<br><br>
<br><br>


__FORCETOC__
__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]
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