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「ベクトル - 位置ベクトル」の版間の差分

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  3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
  3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
<br>
<br>
例. <math>\overrightarrow{OP} = 2 \vec{a} +3 \vec{b}, \, \overrightarrow{OQ} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b}, \, \overrightarrow{OR} = \vec{a} + 10 \vec{b}</math> の時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明する。<br>
<br>
<math>\overrightarrow{PQ} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = \vec{a} - 7 \vec{b}</math><br>
<math>\overrightarrow{PR} = \vec{a} + 10 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = - \vec{a} + 7 \vec{b}</math><br>
<math>\overrightarrow{PR} = - \overrightarrow{PQ}</math> が成り立つ。<br>
ゆえに、3点P、Q、Rは一直線上にある。<br>
<br>
==== 内分点の位置ベクトル ====
==== 内分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
65行目: 73行目:
<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
<br>
<br>
== ベクトルの垂直条件 ==
0ではない2つのベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math> のなす角が90度の時、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math> は垂直(perpendicular)であるといい、<math>\boldsymbol{\vec{a} \perp \vec{b}}</math>と表す。<br>
また、<math>\vec{0}</math> は、全てのベクトルに対して垂直と定める。<br>
<br>
この時、<math>\vec{a}, \vec{b}</math> の内積は、<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{90^\circ} = 0</math> となる。<br>
これは、<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = 0</math> ならば、<math>\vec{a} \perp \vec{b}</math> といえる。<br>
つまり、<math>\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0</math> である。<br>
<br>
また、成分表示された2つのベクトル<math>\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}, \, \vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}</math>が垂直である時、<br>
<math>\dbinom{a_x}{a_y} \cdot \dbinom{b_x}{b_y} = 0 \, \Longleftrightarrow \, a_x b_x + a_y b_y = 0</math> が成り立つ。<br>
<br>
ベクトルの垂直条件
<math>\vec{a} \neq \vec{0}, \, \vec{b} \neq \vec{0}</math> であり、<math>\vec{a} = \dbinom{a_x}{a_y}, \, \vec{b} = \dbinom{b_x}{b_y}</math> とする。
<math>\vec{a} \perp \vec{b} \, \Longleftrightarrow \, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \, \Longleftrightarrow \, a_x b_x + a_y b_y = 0</math>
<br><br>
==== 例題1. 内分点と外分点の座標 ====
==== 例題1. 内分点と外分点の座標 ====
  原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
  原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
103行目: 128行目:
したがって、点Yの座標は、<math>\boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }</math> となる。<br>
したがって、点Yの座標は、<math>\boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }</math> となる。<br>
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==== 例題2. 3点が一直線上にある条件 ====
==== 例題2. 3点が一直線上にある条件 ====
  △ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。
  △ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。
130行目: 156行目:
  2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となるとき、重心の位置ベクトル<math>G(\vec{g})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。
  2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となるとき、重心の位置ベクトル<math>G(\vec{g})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。
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* 1の解答
[[ファイル:Position Vector 6.png|フレームなし|中央]]
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<br>
<br>
* 1の解答
辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より<math>BM:CM = 1:1</math> であるから、<math>\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}</math> となる。<br>
辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より<math>BM:CM = 1:1</math> であるから、<math>\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}</math> となる。<br>
また、重心の性質より、<math>AG:GM = 2:1</math> であるから、次式が求められる。<br>
また、重心の性質より、<math>AG:GM = 2:1</math> であるから、次式が求められる。<br>
147行目: 173行目:
<br>
<br>
* 2の解答
* 2の解答
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<math>\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG}</math> であるから、次式が求められる。<br>
<math>\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG}</math> であるから、次式が求められる。<br>
<br>
<br>
<math>
<math>
\begin{align}
\begin{align}
\overrightarrow{OG} &= \vec{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \\
\overrightarrow{OG} &= \vec{a} + \overrightarrow{AG} \\
&= \vec{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AG} = \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} + \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AC} \\
&= \vec{a} + \frac{1}{3} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\
&= \vec{a} + \frac{1}{3} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\
&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}
&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}
\end{align}
\end{align}
</math><br>
</math><br>
<br>
==== 例題4. 外心の位置ベクトル ====
<math>AB = 3, BC = 7, CA = 5</math> である△ABCがある。<br>
<math>\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \mbox{の 外 心 を O }</math> とする時、以下の問いに答えよ。
1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
2. <math>\overrightarrow{AO}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
<br>
[[ファイル:Position Vector 8.png|フレームなし|中央]]
<br>
* 1の解答
<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>
余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\theta}</math><br>
ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}</math><br>
<br>
<math>
\begin{align}
|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\
&= \frac{9 + 25 - 49}{2} \\
&= - \frac{15}{2}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>
<br>
* 2の解答
<math>\overrightarrow{AO} = x \vec{b} + y \vec{c}</math> とおく。<math>\overrightarrow{DO}</math> と <math>\overrightarrow{AB}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AD} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b} \right) \cdot \vec{b} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{b} \right|^2 + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) - \frac{15}{2} y = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 18x - 15y = 9</math><br>
<math>\Leftrightarrow 6x - 5y = 3 \qquad (1)</math><br>
<br>
また、<math>\overrightarrow{EO}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AE} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{c} \right) \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{c} \right|^2 = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow - 15x + 50y = 25</math><br>
<math>\Leftrightarrow - 3x + 10y = 5 \qquad (2)</math><br>
<br>
式(1)，(2)を連立すると、<br>
<math>
\begin{cases}
6x - 5y  &= 3 \\
-3x + 10y &= 5
\end{cases}
\quad \mbox{よ り } \quad
\begin{cases}
x &= \frac{11}{9}  \\
y &= \frac{13}{15} \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AO} = \frac{11}{9} \vec{b} + \frac{13}{15} \vec{c}}</math> となる。<br>
<br>
==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====
内心の定義
三角形の3つの内角の二等分線は、1点で交わる。この交点を、内心という。
内心は、3つの辺から等距離にあり、内心を中心として、△ABCに接する円を描くことができる。この円を、三角形の内接円という。
<br>
<math>AB = c, BC = a, CA = b</math> である△ABCの内心をIとする。
1. <math>\overrightarrow{AI}</math> を <math>\overrightarrow{AB}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となる時、内心の位置ベクトル<math>I(\vec{i})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。
<br>
* 1の解答
[[ファイル:Position Vector 9.png|フレームなし|中央]]
<br>
直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より<math>\angle{BAD} = \angle{CAD}</math> である。<br>
角の二等分線の定理より、<math>BD:DC=c:b</math> となるから、<math>\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}</math> は次式となる。<br>
<math>\overrightarrow{AD} = \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC}</math><br>
<math>\overrightarrow{BD} = \frac{c}{b + c} \times a = \frac{ac}{b + c}</math><br>
<br>
また、内心の定義より、<math>\angle{ABI} = \angle{DBI}</math> である。<br>
角の二等分線の定理より、次式となる。<br>
<math>AI : ID = AB : BD</math><br>
<math>c : \frac{ac}{b + c} = b + c : a</math><br>
<br>
上式より、次式が求まる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{AI} &= \frac{AI}{AD} \overrightarrow{AD} \\
&= \frac{b + c}{a + b + c} \times \left( \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC} \right) \\
&= \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}}</math> となる。<br>
<br>
* 2の解答
[[ファイル:Position Vector 10.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}</math>であるから、次式が求められる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OI} &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{ c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \\
&= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \qquad \because \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} \\
&= \frac{a + b + c}{a + b + c} \, \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \\
&= \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b} + \frac{c}{a + b + c} \vec{c}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}</math> となる。<br>
<br>
==== 例題6. 垂心の位置ベクトル ====
<math>AB = 5, \, BC = 6, \, CA = 4</math> である <math>\triangle ABC</math> がある。
<math>\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \, \mbox{の 垂 心 を } H</math> とする時、以下の問いに答えよ。
1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
2. <math>\overrightarrow{AH}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
<br>
[[ファイル:Position Vector 11.png|フレームなし|中央]]
<br>
* 1の解答
<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>
余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \, AB \, AC \, \cos{\theta}</math><br>
ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}</math><br>
<br>
<math>
\begin{align}
|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\
&= \frac{25 + 16 - 36}{2} \\
&= - \frac{5}{2}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>
<br>
* 2の解答
<math>\overrightarrow{AH} = x \vec{b} + y \vec{c}</math> とおく。<math>\overrightarrow{CH}</math> と <math>\overrightarrow{AB}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{c} \right) \cdot \vec{b} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \left| \vec{b} \right|^2 + (y - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 25x + (y - 1) \frac{5}{2} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 25x +  \frac{5}{2} y = \frac{5}{2}</math><br>
<math>\Leftrightarrow 10x + y = 1 \qquad (1)</math><br>
<br>
また、<math>\overrightarrow{BH}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left(x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{b} \right) \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow (x - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} + y \left| \vec{c} \right|^2 = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow (x - 1) \frac{5}{2} + 16y = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \frac{5}{2}x + 16y = \frac{5}{2}</math><br>
<math>\Leftrightarrow 5x + 32y = 5 \qquad (2)</math><br>
<br>
式(1)，(2)を連立すると、<br>
<math>
\begin{cases}
10x + y  &= 1 \\
5x + 32y &= 5
\end{cases}
\quad \mbox{よ り } \quad
\begin{cases}
x &= \frac{3}{35}  \\
y &= \frac{1}{7} \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AH} = \frac{3}{35} \vec{b} + \frac{1}{7} \vec{c}}</math> となる。<br>
<br><br>
<br><br>


__FORCETOC__
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[[カテゴリ:解析学]]
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