「情報理論 - ガロア体」の版間の差分

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ビジュアルウィキテキスト

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 そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br>
 <br>
+==== 原始多項式 ====
+<math>f(x) \in R[X]</math> の全ての係数の最大公約元が単元である時、<math>f(x)</math> は原始多項式(primitive polynomial)という。<br>
+<br>
+例 :<br>
+<math>f(x) = 2x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 \in Z[x]</math> は全ての係数が2で除算できるため原始多項式ではない。<br>
+<math>f(x) = 6x^{2} + 3x + 4 \in Z[x]</math> は原始多項式である。<br>
+<br>
+原始多項式の特徴<br>
+* 全ての最小多項式は既約であるから，原始多項式は既約である。
+* 原始多項式の定数項の係数は、非零でなければならない。<br>そうでないと，多項式xで因数分解できてしまうからである。
+* <math>GF(2)</math> においては、<math>x + 1</math> は原始多項式であるが、それ以外の全ての原始多項式は奇数個の項を持つ。<br>なぜなら、偶数個の項を持つ多項式は、<math>\mod{2}</math> では必ず多項式 <math>(x + 1)</math> で因数分解できてしまうからである。<br>（すなわち、<math>x = 1</math> を根として持つ）
+<br>
 ==== 既約多項式 ====
 体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br>
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 |-
 | style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
-| 0 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math>
+| 0 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 1
 |-
 | style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
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 さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br>
 <br>
 ==== GF(2)の3次の拡大体 ====
 GF(2)の2次の拡大体の構成法にならって、GF(2)の3次の拡大体を構成する。<br>