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「情報理論 - ガロア体」の版間の差分

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そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br>
そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br>
<br>
<br>
==== 原始多項式 ====
<math>f(x) \in R[X]</math> の全ての係数の最大公約元が単元である時、<math>f(x)</math> は原始多項式(primitive polynomial)という。<br>
<br>
例 :<br>
<math>f(x) = 2x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 \in Z[x]</math> は全ての係数が2で除算できるため原始多項式ではない。<br>
<math>f(x) = 6x^{2} + 3x + 4 \in Z[x]</math> は原始多項式である。<br>
<br>
原始多項式の特徴<br>
* 全ての最小多項式は既約であるから，原始多項式は既約である。
* 原始多項式の定数項の係数は、非零でなければならない。<br>そうでないと，多項式xで因数分解できてしまうからである。
* <math>GF(2)</math> においては、<math>x + 1</math> は原始多項式であるが、それ以外の全ての原始多項式は奇数個の項を持つ。<br>なぜなら、偶数個の項を持つ多項式は、<math>\mod{2}</math> では必ず多項式 <math>(x + 1)</math> で因数分解できてしまうからである。<br>（すなわち、<math>x = 1</math> を根として持つ）
<br>
==== 既約多項式 ====
==== 既約多項式 ====
体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br>
体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br>
103行目: 116行目:
<br>
<br>
<u>2次以降の既約多項式では、必ず定数項を含むことに注意する。</u><br>
<u>2次以降の既約多項式では、必ず定数項を含むことに注意する。</u><br>
<u>なぜなら、定数項が存在しない場合、<math>f(0) = 0</math>となり、また、f(x)は1次既約多項式xで可約(因数分解)できるからである。</u><br>
<u>なぜなら、定数項が存在しない場合、<math>f(0) = 0</math>となり、また、f(x)は1次既約多項式xで可約だから(因数分解できるから)である。</u><br>
<br>
<br>
* 2次既約多項式
* 2次既約多項式
2次既約多項式を求めるには、<math>f(x) = x^2 + ax + 1</math>とする時、<math>[\frac{m}{2}] = 1</math> ([]はガウスの記号)だから、<br>
2次既約多項式を求めるには、<math>f(x) = x^2 + ax + 1</math>とする時、<math>\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor = 1</math> (床関数)だから、<br>
f(x)が1次既約多項式で因数分解できなければよく、かつ、剰余定理から<math>f(0) \ne 0, \quad f(1) \ne 0</math>ならばよい。<br>
f(x)が1次既約多項式で因数分解できなければよく、かつ、剰余定理から<math>f(0) \ne 0, \quad f(1) \ne 0</math>ならばよい。<br>
(床関数とは、<math>n \le x < n + 1</math>を満たす整数nのことを<math>\lfloor x \rfloor</math>と記述する。<math>\lfloor x \rfloor</math>は、xを超えない最大の整数とも言える。)<br>
<br>
<math>f(0) = 1 \ne 0</math><br>
<math>f(0) = 1 \ne 0</math><br>
<math>f(1) = 1 + a + 1 = a \ne 0 \quad \mbox{す な わ ち} \quad a = 1</math><br>
<math>f(1) = 1 + a + 1 = a \ne 0 \quad \mbox{す な わ ち} \quad a = 1</math><br>
113行目: 128行目:
<br>
<br>
* 3次既約多項式
* 3次既約多項式
3次既約多項式を求めるには、<math>f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1</math>とする時、<math>[\frac{m}{2}] = 1</math>だから、<br>
3次既約多項式を求めるには、<math>f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1</math>とする時、<math>\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor = 1</math>だから、<br>
f(x)が1次既約多項式で因数分解できなければよく、かつ、剰余定理から<math>f(0) \ne 0, \quad f(1) \ne 0</math>ならばよい。<br>
f(x)が1次既約多項式で因数分解できなければよく、かつ、剰余定理から<math>f(0) \ne 0, \quad f(1) \ne 0</math>ならばよい。<br>
<math>f(0) = 1 \ne 0</math><br>
<math>f(0) = 1 \ne 0</math><br>
<math>f(1) = 1 + a + b + 1 = a + b \ne 0 \quad \mbox{す な わ ち} \quad (a, b) = (1, 0) \quad \mbox{ま た は} \quad (0, 1)</math><br>
<math>f(1) = 1 + a + b + 1 = a + b \ne 0 \quad \mbox{す な わ ち} \quad (a, b) = (1, 0) \quad \mbox{ま た は} \quad (0, 1)</math><br>
したがって、3次既約多項式は、<math>f(x) = x^3 + x^2 + 1, \quad f(x) = x^3 + x + 1</math> の2つとなる。<br>
したがって、3次既約多項式は、<math>f(x) = x^3 + x^2 + 1, \quad f(x) = x^3 + x + 1</math> の2つとなる。<br>
<br>
* 4次既約多項式
4次既約多項式を求めるには、<math>f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1</math>とする時、<math>\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor = 2</math>だから、<br>
f(x)が2次以下の既約多項式で因数分解できなければよく、かつ、剰余定理から<math>f(0) \ne 0, \quad f(1) \ne 0</math>ならばよい。<br>
<math>f(0) = 1 \ne 0</math><br>
<math>f(1) = 1 + a + b + c + 1 = a + b + c \ne 0 \quad \mbox{し た が っ て} \quad a + b + c = 1</math><br>
<br>
f(x)を2次の既約多項式<math>x^2 + x + 1</math>で割った剰余は、<math>x(b + c + 1) + (a + b + 1)</math><br>
<br>
<math>b + c + 1, \quad a + b + 1</math>が同時に0になってはならないため、<math>b + c = 0 \quad \mbox{ま た は} \quad a + b = 0</math><br>
<math>a + b = 0 \quad \mbox{の 時 、} \quad a + b + c = c = 1 \quad \mbox{し た が っ て} \quad (a, b) = (0, 0), (1, 1) \quad \mbox{よ り} \quad (a, b, c) = (0, 0, 1), (1, 1, 1)</math><br>
<math>b + c = 0 \quad \mbox{の 時 、} \quad a + b + c = a = 1 \quad \mbox{し た が っ て} \quad (b, c) = (0, 0), (1, 1) \quad \mbox{よ り} \quad (a, b, c) = (1, 0, 0), (1, 1, 1)</math><br>
<br>
<math>\mbox{上 記 よ り} \quad (a, b, c) = (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 0, 1)</math><br>
したがって、4次既約多項式は、<math>f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, \quad x^4 + x^3 + 1, \quad x^4 + x + 1</math> の3つとなる。<br>
<br>
5次既約多項式を、以下に示す。<br>
* x
* 1 + x
*: <br>
* 1 + x + x<sup>2</sup>
*: <br>
* 1 + x + x<sup>3</sup>
* 1 + x + x<sup>3</sup>
*: <br>
* 1 + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup>
* 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup>
* 1 + x + x<sup>4</sup>
*: <br>
* 1 + x<sup>3</sup> + x<sup>5</sup>
* 1 + x<sup>2</sup> + x<sup>5</sup>
* 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + x<sup>5</sup>
* 1 + x + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup>
* 1 + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup>
* 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>4</sup> + x<sup>5</sup>
<br><br>
== 拡大体 ==
体Kが体F上を含む時、体Kを体Fの拡大体という。<br>
実数体<math>\R</math>は、有理数体<math>\Q</math>の拡大体である。<br>
体F上の既約多項式f(x)がある時、方程式f(x) = 0の根ωを用いて、体Fの拡大体Kを作ることができる。<br>
<br>
==== GF(2)の2次の拡大体 ====
GF(2)上の2次の既約多項式は、<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>だけである。<br>
<br>
f(x) = 0の根をωとすると、<math>\omega^2 + \omega + 1 = 0</math>が成り立つ。<br>
このωを用いて、集合<math>\{a + b \omega; a, b \in GF(2)\}</math>を作ると、この集合は体となる。<br>
<br>
a、bは0か1であるから、この集合の要素は<math>\{0, 1, \omega, \omega + 1\}</math>となる。<br>
この集合の任意の2要素の和もこの集合に属する。<br>
また、この集合の任意の2要素の積もこの集合に属する。<br>
<br>
例.1<br>
<math>\omega + \omega = \omega (1 + 1) = \omega \times 0 = 0</math>より、<math>\omega = - \omega</math>である。<br>
これは、GF(2)では、<u>加えることと減ずることは同じ</u>ことを意味する。<br>
<br>
例.2<br>
<math>\omega + (1 + \omega) = 1 + (\omega + \omega) = 1 + 0 = 1</math><br>
<br>
例.3<br>
2次の既約多項式<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>において、f(x) = 0の根をωとすると、<math>\omega^2 + \omega + 1 = 0</math>より、<math>\omega^2 = - \omega - 1</math><br>
また、<math>(\omega + 1) + (\omega + 1) = 0</math>より、<math>\omega + 1 = - \omega - 1</math><br>
したがって、 <math>\omega^2 = - \omega - 1 = \omega + 1</math><br>
<br>
例.4<br>
<math>\omega (1 + \omega) = \omega + \omega^2 = \omega + \omega + 1 = 0 + 1 = 1</math><br>
<br>
下表に、GF(2)の2次の拡大体の演算を示す。<br>
<center>
{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe; width: 300px;"
|-
! style="background-color:#66CCFF;" | 和
! style="background-color:#66CCFF;" | 0
! style="background-color:#66CCFF;" | 1
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | 0
| 0 || 1 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | 1
| 1 || 0 || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
| <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 0 || 1
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
| <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math> || 1 || 0
|}
</center>
<br>
<center>
{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe; width:300px;"
|-
! style="background-color:#66CCFF;" | 積
! style="background-color:#66CCFF;" | 0
! style="background-color:#66CCFF;" | 1
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | 0
| style="width:50px;" | 0 || 0 || 0 || 0
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | 1
| 0 || 1 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
| 0 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 1
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
| 0 || <math>\omega + 1</math> || 1 || <math>\omega</math>
|}
</center>
<br>
また、これらは商に関しても閉じている。<br>
上表より、<math>\omega (1 + \omega) = 1</math>であるから、<math>\omega = (\omega + 1)^{-1}</math>である。<br>
これは、<u><math>1 + \omega</math>の逆元<math>(1 + \omega)^{-1}</math>は、<math>1 + \omega</math>との積が1となる元である</u>ことを意味する。<br>
<math>\frac{\omega}{1 + \omega} = \omega (1 + \omega)^{-1} = \omega \times \omega = \omega^2 = \omega + 1</math><br>
<br>
以上のように、集合<math>\{0, 1, \omega, \omega + 1 \}</math>は、四則において閉じており、体である。<br>
この体のことをGF(2<sup>2</sup>)と表し、<u>GF(2)の2次の拡大体</u>という。<br>
<br>
GF(2<sup>2</sup>)の要素の累乗表示において、<math>\omega^2 = \omega + 1, \quad \omega^3 = \omega \times \omega^2 = \omega (\omega + 1) = 1</math>より、<br>
<math>GF(2^2) = \{ 0, 1, \omega, \omega^2 \}</math>となる。<br>
すなわち、集合GF(2<sup>2</sup>)は、以下の2つの表示をすることができる。<br>
* 線形表示
*: <math>GF(2^2) = \{ 0, 1, \omega, \omega + 1 \}</math> まとめて <math>\{ a + b \omega; a, b \in GF(2) \}</math>
* 累乗表示
*: <math>GF(2^2) = \{ 0, 1, \omega, \omega^2 \}</math> まとめて <math>\{ 0, \omega^{i}; i = 0, 1, 2 \}</math>
<br>
累乗表示の性質から、ωをGF(2<sup>2</sup>)の原始根といい、ωを根にもつ<math>f(x) = x^2 + x + 1</math>をGF(2<sup>2</sup>)の原始多項式という。<br>
さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br>
<br>
==== GF(2)の3次の拡大体 ====
GF(2)の2次の拡大体の構成法にならって、GF(2)の3次の拡大体を構成する。<br>
<br>
まず、GF(2)上の3次の既約多項式を求める。<br>
GF(2)上の3次の多項式<math>f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \quad (a, b, c \in GF(2))</math>がGF(2)上で既約であるとは、<br>
<math>f(0) = c \ne 0</math> かつ <math>f(1) = 1 + a + b + c \ne 0</math>であるから、<math>(a, b, c) = (1, 0, 1) \quad (0, 1, 1)</math>となる場合である。<br>
したがって、GF(2)上の既約多項式は、以下の2つとなる。<br>
<math>f(x) = x^3 + x^2 + 1, \quad f(x) = x^3 + x + 1</math><br>
<br>
GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)を構成するには、まず、GF(2)の3次の既約多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>を取り上げる。<br>
f(x) = 0の根をωとする時、<math>\omega^3 + \omega + 1 = 0</math>となり、したがって、<math>\omega^3 = - \omega - 1 = \omega + 1</math><br>
また、<math>\omega \ne 0, \quad \omega \ne 1</math>であるから、ωはGF(2)に含まれない。<br>
<br>
このωを用いて集合<math>\{ a + b \omega + c \omega^2; a, b, c \in GF(2) \}</math>を作る。<br>
この集合の要素を全て書くと、<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>となる。<br>
この8個の要素のどの2つを加算しても、この集合の要素となる。<br>
ちなみに、3次の既約多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math> を用いる場合、<math>\omega^3 + \omega + 1 = 0, \quad \omega^3 = - \omega - 1, \quad \omega^3 = \omega + 1</math>となる。<br>
<br>
すなわち、この集合の和は閉じている。差においても閉じていることは明らかである。<br>
<br>
下表に、この集合(GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>))の積の演算を示す。<br>
<center>
{| class="wikitable" | style="text-align: center; background-color:#fefefe;"
|-
! style="background-color:#66CCFF;" | 積
! style="background-color:#66CCFF;" | 1
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + 1</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega</math>
! style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | 1
| 1 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math>
| <math>\omega</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 1 || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2 + 1</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math>
| <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2</math> || 1 || <math>\omega</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2</math>
| <math>\omega^2</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || 1
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + 1</math>
| <math>\omega^2 + 1</math> || 1 || <math>\omega^2</math> || <math>\omega</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega^2 + \omega</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega</math>
| <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || 1 || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega + 1</math> || <math>\omega</math> || <math>\omega^2</math>
|-
| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega^2 + \omega + 1</math>
| <math>\omega^2 + \omega + 1</math> || <math>\omega^2 + 1</math> || <math>\omega</math> || 1 || <math>\omega^2 + \omega</math> || <math>\omega^2</math> || <math>\omega + 1</math>
|}
</center>
<br>
例.1<br>
<math>\omega^2 (1 + \omega + \omega^2) = \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = \omega^2 + \omega + 1 + \omega (\omega + 1) = 1</math>
<br>
例.2<br>
<math>\omega^2 + \omega + 1</math>の逆元は、積が1となる元<math>\omega^2</math>である。
<math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1</math>より、<math>\omega^2 = \frac{1}{\omega^2 + \omega + 1}</math>である。
例えば、<math>\frac{\omega}{\omega^2 + \omega + 1} = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = \omega + 1</math>となる。
<br>
上式のように、ωを<math>\omega^2 + \omega + 1</math>で割った結果もこの集合の要素となる。<br>
同様に、商に関しても閉じていることが分かる。<br>
<br>
以上のように、集合<math>\{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math>は、四則に関して閉じているため、体である。<br>
<u>この体をGF(2<sup>3</sup>)と表し、GF(2)の3次拡大体という。</u><br>
<br>
GF(2<sup>3</sup>)の累乗表示において、<math>\omega^3 = \omega + 1, \quad \omega^4 = \omega^2 + \omega, \quad \omega^5 = \omega^2 + \omega + 1, \quad \omega^6 = \omega^2 + 1</math>となる。<br>
このように、GF(2<sup>3</sup>)の要素は、ωの累乗で表されることがわかる。<br>
したがって、GF(2<sup>3</sup>)は、以下の2つの表示をすることができる。<br>
* <math>GF(2^3) = \{ 0, 1, \omega, \omega + 1, \omega^2, \omega^2 + 1, \omega^2 + \omega, \omega^2 + \omega + 1 \}</math><br><math>\Rightarrow \{ a + b \omega + c \omega^2; a, b, c \in GF(2) \}</math>
* <math>GF(2^3) = \{ 0, 1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, \omega^6 \}</math><br><math>\Rightarrow \{ 0, \omega^{i}; 0, 1, 2, \cdots, 6 \}</math>
<br>
ωはGF(2<sup>3</sup>)の原始根、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>はGF(2<sup>3</sup>)の原始多項式である。<br>
<br>
GF(2<sup>3</sup>)の原始多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の因数分解は、<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^4)</math>となる。<br>
また、GF(2)上のもう1つの3次の既約多項式<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>は、<math>g(x) = (x - \omega^3)(x - \omega^5)(x - \omega^7)</math>と因数分解される。<br>
したがって、GF(2)では3次の既約多項式として、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の代わりに<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>を用いても、同じ3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)が得られる。<br>
<br>
例.3
上表(GF(2)の3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)の積の演算表)を用いて、GF(2<sup>3</sup>)内の次の要素の逆元を求める。
<math>\omega^2 + 1</math>の逆元
上表から、<math>\omega (\omega^2 + 1) = 1, \quad \omega = (\omega^2 + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega</math>である。
<math>\omega^2 + \omega</math>の逆元
上表から、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1, \quad \omega + 1 = (\omega^2 + \omega)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega + 1</math>である。
<math>\omega^5</math>の逆元
<math>\omega^5 = \omega^2(\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 = \omega^2 + \omega + 1</math>である。
上表から、<math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1, \quad \omega^2 = (\omega^2 + \omega + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega^2</math>である。
<br>
例.4
ωを<math>x^3 + x + 1 = 0</math>の根とする時、次の値を<math>a + b \omega + c \omega^2 \quad (a, b, c \in GF(2))</math>の形で表す。
1. <math>\frac{\omega^2}{\omega^2 + \omega}</math>
<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega}</math>は、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1</math>より、<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega} = \omega + 1 \quad \cdots (1)</math>
(1)式より、<math>\frac{\omega^2}{\omega^2 + \omega} = \omega^2 (\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 = \omega^2 + \omega + 1</math>となる。
2. <math>\frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^4}</math>
<math>\frac{1}{\omega^4} = \frac{1}{\omega^2 + \omega}</math>は、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1</math>より、<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega} = \omega + 1 \quad \cdots (2)</math>
(2)式より、<math>\frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^4} = (\omega^2 + \omega + 1)(\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 + \omega + \omega^2 + \omega + 1 = \omega^3 + 1 = \omega</math>
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__FORCETOC__
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[[カテゴリ:情報理論]]
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