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対偶 <math>\forall x_{1} \in X, \quad \forall x_{2} \in X</math> に対して、常に <math>f(x_{1}) = f(x_{2}) \rightarrow x_{1} = x_{2} </math> を満たす、と同義である。 | 対偶 <math>\forall x_{1} \in X, \quad \forall x_{2} \in X</math> に対して、常に <math>f(x_{1}) = f(x_{2}) \rightarrow x_{1} = x_{2} </math> を満たす、と同義である。 | ||
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[[ファイル:Logical Mathematics Injection 1.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図(a). 単射の例<br>図(b). 単射でない例</center><br> | <center>図(a). 単射の例<br>図(b). 単射でない例</center><br> | ||
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== 全射 == | |||
定義 : | |||
始域Xから終域Yへの写像fについて、<math>\forall y \in Y</math> に対して、常に <math>y = f(x)</math> を満たす要素 <math>x \in X</math> が存在する時、 | |||
写像fは全射（上への対応）であるという。 | |||
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[[ファイル:Logical Mathematics Surjection 1.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図(a). 全射の例<br>図(b). 全射でない例</center><br> | |||
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== 全単射 == | |||
定義 : | |||
全射であり、かつ、単射である写像を全単射 (上への１対1対応) という。 | |||
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[[ファイル:Logical Mathematics Bijection 1.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図(a). 単射の例<br>図(b). 全射の例<br>図(c). 全単射の例</center><br> | |||
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== 逆写像 == | |||
定義 : | |||
集合Xから集合Yへの写像fが全単射である時、<math>\forall y \in Y</math> に対して、 | |||
<math>y = f(x)</math> を満たす要素 <math>x \in X</math> を対応させる写像をfの逆写像といい、<math>f^{-1}</math> で表す。 | |||
<math>y = f(x) \, \iff \, x = f^{-1}(y)</math> | |||
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[[ファイル:Logical Mathematics InvMapping 1.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図(a). 写像<br>図(b). 逆写像</center><br> | |||
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例 : | |||
<math>f(x) = 2x + 1</math> の逆写像 <math>y = 2x + 1</math> とおき、xについて解く。 | |||
<math> | |||
\begin{array}{lcl} | |||
2x &=& y - 1 \\ | |||
x &=& \dfrac{1}{2} y - \dfrac{1}{2} | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
したがって、 | |||
<math>f^{-1} (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}</math> | |||
一般的に、写像はxの式で表すので、yをxに置き換えて次式のように表す。 | |||
<math>f^{-1} (x) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}</math> | |||
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== 逆像 == | |||
定義 : | |||
始域Xから終域Yへの写像<math>f : X \rightarrow Y</math> とYの部分集合Bが与えられた時、<br> | |||
Xの部分集合 <math>f^{-1}(B) = \{ x \, | \, x \in X, \, \, f(x) \in B \}</math> をfによるBの逆像という。<br> | |||
補足 : | |||
多価写像に対しても、上と同様に逆像が定義される。 | |||
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例 : | |||
<math>f: \R \rightarrow \R</math> を <math>f(x) = x^{2}</math> とする。 | |||
この時、<math>f([1, \, 2]) = [1, \, 4]</math> である。 | |||
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[[ファイル:Logical Mathematics InvImage 1.png|フレームなし|中央]]<br> | |||
<center>図. 像・逆像のイメージ</center><br> | |||
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また、<math>f^{-1} ([1, \, 4]) = [-2, \, -1] \cup [1, \, 2]</math> である。 | |||
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[[ファイル:Logical Mathematics InvImage 2.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図. 像・逆像の例 <math>y = x^{2}</math></center><br> | |||
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== 恒等写像 == | |||
全ての元を同じものに写す写像を恒等写像とよぶ。<br> | |||
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定義 : | |||
写像 <math>f: A \rightarrow A</math> が、任意の <math>a \in A</math> に対して <math>f(a) = a</math> を満たす時、fを恒等写像という。 | |||
この時、<math>f = i d_{A}</math> と記述することがある。 | |||
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== 写像の合成 == | |||
定義 : | |||
写像 <math>f: X \rightarrow Y</math> と写像 <math>g: Y \rightarrow Z</math> に対して、 | |||
<math>x \longmapsto g(f(x))</math> で定められる写像 <math>h: X \rightarrow Z</math> をfとgの合成写像といい、 | |||
<math>h = g \circ f \qquad \mbox{or} \qquad h(x) = g \circ f(x) \equiv g(f(x))</math> | |||
で表す。 | |||
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[[ファイル:Logical Mathematics Composition 1.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図. 写像の合成</center><br> | |||
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補足 : | |||
写像の合成は、合成の順序に依存することに注意する。 | |||
<math>g \circ f \ne f \circ g</math> | |||
例 : | |||
<math>f(x) = x^{2}, \quad g(x) = x + 1</math> の時、 | |||
<math>g \circ f(x) = g(f(x)) = g(x^{2}) = x^{2} + 1</math> | |||
<math>f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1</math> | |||
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