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そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br> | そして、体F上の多項式間の演算は、実数体上の多項式と同様に行う。<br> | ||
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==== 原始多項式 ==== | |||
<math>f(x) \in R[X]</math> の全ての係数の最大公約元が単元である時、<math>f(x)</math> は原始多項式(primitive polynomial)という。<br> | |||
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例 :<br> | |||
<math>f(x) = 2x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 \in Z[x]</math> は全ての係数が2で除算できるため原始多項式ではない。<br> | |||
<math>f(x) = 6x^{2} + 3x + 4 \in Z[x]</math> は原始多項式である。<br> | |||
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原始多項式の特徴<br> | |||
* 全ての最小多項式は既約であるから，原始多項式は既約である。 | |||
* 原始多項式の定数項の係数は、非零でなければならない。<br>そうでないと，多項式xで因数分解できてしまうからである。 | |||
* <math>GF(2)</math> においては、<math>x + 1</math> は原始多項式であるが、それ以外の全ての原始多項式は奇数個の項を持つ。<br>なぜなら、偶数個の項を持つ多項式は、<math>\mod{2}</math> では必ず多項式 <math>(x + 1)</math> で因数分解できてしまうからである。<br>（すなわち、<math>x = 1</math> を根として持つ） | |||
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==== 既約多項式 ==== | ==== 既約多項式 ==== | ||
体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br> | 体F上の多項式で、それよりも次数の低い体F上多項式に因数分解できない多項式を既約多項式という。<br> | ||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | | style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega</math> | ||
| 0 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || | | 0 || <math>\omega</math> || <math>\omega + 1</math> || 1 | ||
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| style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | | style="background-color:#66CCFF;" | <math>\omega + 1</math> | ||
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さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br> | さらに、<math>(x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 - x(\omega + \omega^2) + \omega^3 = x^2 + x + 1 = f(x)</math>であるから、原始多項式f(x)はGF(2<sup>2</sup>)で<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)</math>と因数分解される。<br> | ||
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==== GF(2)の3次の拡大体 ==== | ==== GF(2)の3次の拡大体 ==== | ||
GF(2)の2次の拡大体の構成法にならって、GF(2)の3次の拡大体を構成する。<br> | GF(2)の2次の拡大体の構成法にならって、GF(2)の3次の拡大体を構成する。<br> | ||
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GF(2<sup>3</sup>)の原始多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の因数分解は、<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^4)</math>となる。<br> | GF(2<sup>3</sup>)の原始多項式<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の因数分解は、<math>f(x) = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^4)</math>となる。<br> | ||
また、GF(2)上のもう1つの3次の既約多項式<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>は、<math>g(x) = (x - \omega^3)(x - \omega^5)(x - omega^7)</math>と因数分解される。<br> | また、GF(2)上のもう1つの3次の既約多項式<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>は、<math>g(x) = (x - \omega^3)(x - \omega^5)(x - \omega^7)</math>と因数分解される。<br> | ||
したがって、GF(2)では3次の既約多項式として、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の代わりに<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>を用いても、同じ3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)が得られる。<br> | したがって、GF(2)では3次の既約多項式として、<math>f(x) = x^3 + x + 1</math>の代わりに<math>g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>を用いても、同じ3次の拡大体GF(2<sup>3</sup>)が得られる。<br> | ||
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<math>\omega^2 + 1</math>の逆元 | <math>\omega^2 + 1</math>の逆元 | ||
上表から、<math>\omega (\omega^2 + 1) = 1, \quad \omega = (\omega^2 + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega</math>である。 | 上表から、<math>\omega (\omega^2 + 1) = 1, \quad \omega = (\omega^2 + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega</math>である。 | ||
<math>\omega^2 + \omega</math>の逆元 | |||
上表から、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1, \quad \omega + 1 = (\omega^2 + \omega)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega + 1</math>である。 | |||
<math>\omega^5</math>の逆元 | |||
<math>\omega^5 = \omega^2(\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 = \omega^2 + \omega + 1</math>である。 | |||
上表から、<math>\omega^2 (\omega^2 + \omega + 1) = 1, \quad \omega^2 = (\omega^2 + \omega + 1)^{-1}</math>となり、逆元は<math>\omega^2</math>である。 | |||
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例.4 | |||
ωを<math>x^3 + x + 1 = 0</math>の根とする時、次の値を<math>a + b \omega + c \omega^2 \quad (a, b, c \in GF(2))</math>の形で表す。 | |||
1. <math>\frac{\omega^2}{\omega^2 + \omega}</math> | |||
<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega}</math>は、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1</math>より、<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega} = \omega + 1 \quad \cdots (1)</math> | |||
(1)式より、<math>\frac{\omega^2}{\omega^2 + \omega} = \omega^2 (\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 = \omega^2 + \omega + 1</math>となる。 | |||
2. <math>\frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^4}</math> | |||
<math>\frac{1}{\omega^4} = \frac{1}{\omega^2 + \omega}</math>は、<math>(\omega + 1)(\omega^2 + \omega) = 1</math>より、<math>\frac{1}{\omega^2 + \omega} = \omega + 1 \quad \cdots (2)</math> | |||
(2)式より、<math>\frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^4} = (\omega^2 + \omega + 1)(\omega + 1) = \omega^3 + \omega^2 + \omega + \omega^2 + \omega + 1 = \omega^3 + 1 = \omega</math> | |||
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