ベクトル - 位置ベクトル

内分点と外分点の位置ベクトル

ベクトルの伸縮

例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、$OA:AX=3:2$であるとする。
この時、${\overrightarrow {OX}}$は、${\overrightarrow {OA}}$を伸縮することによって表すことができ、${\overrightarrow {OX}}={\frac {5}{3}}{\overrightarrow {OA}}$ と書くことができる。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル${\overrightarrow {AC}}$が${\overrightarrow {AB}}$を伸縮することにより表すことができる場合である。
つまり、${\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在することである。

3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある $\iff {\overrightarrow {AC}}=k{\overrightarrow {AB}}$ となる実数kが存在する

例. ${\overrightarrow {OP}}=2{\vec {a}}+3{\vec {b}},\,{\overrightarrow {OQ}}=3{\vec {a}}-4{\vec {b}},\,{\overrightarrow {OR}}={\vec {a}}+10{\vec {b}}$ の時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明する。

${\overrightarrow {PQ}}=3{\vec {a}}-4{\vec {b}}-(2{\vec {a}}+3{\vec {b}})={\vec {a}}-7{\vec {b}}$
${\overrightarrow {PR}}={\vec {a}}+10{\vec {b}}-(2{\vec {a}}+3{\vec {b}})=-{\vec {a}}+7{\vec {b}}$
${\overrightarrow {PR}}=-{\overrightarrow {PQ}}$ が成り立つ。
ゆえに、3点P、Q、Rは一直線上にある。

内分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して、2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである${\vec {x}}$は、${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。

${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 分 解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始 点 を O に す る }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m+n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}\end{aligned}}$

内分点の位置ベクトル

2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点$X({\vec {x}})$において、${\vec {x}}$は、 ${\vec {x}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ と表すことができる。

この式${\vec {x}}={\dfrac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$ の分子 $n{\vec {a}}+m{\vec {b}}$ は、上図の太線で表したように、下図のようにたすき掛けのような形になっている。

外分点の位置ベクトル

下図のように、点Oに関して2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである${\vec {x}}$は、${\vec {a}},{\vec {b}},m,n$を用いて、次式のように表すことができる。

${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\overrightarrow {OX}}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AX}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 分 解 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {AB}}\qquad \because {\mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 }}\\&={\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}\left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)\qquad \because {\mbox{始 点 を O に す る }}\\&=\left(1-{\frac {m}{m-n}}\right){\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\\&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}\end{aligned}}$

外分点の位置ベクトル

2点$A({\vec {a}}),B({\vec {b}})$を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点$X({\vec {x}})$において、${\vec {x}}$は、${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ と表すことができる。

この式では、"m:nに外分すること"は、"m:-nに内分すること"と等しいことが分かる。
また、${\vec {x}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$ は、分母・分子にー1を乗算することにより、${\vec {x}}={\frac {-(-n{\vec {a}}+m{\vec {b}})}{-(m-n)}}={\frac {n{\vec {a}}-m{\vec {b}}}{n-m}}$とも書けるため、
"-m:nに内分すること"とも等しいことがわかる。

ベクトルの垂直条件

0ではない2つのベクトル${\vec {a}},{\vec {b}}$ のなす角が90度の時、${\vec {a}}$と${\vec {b}}$ は垂直(perpendicular)であるといい、${\boldsymbol {{\vec {a}}\perp {\vec {b}}}}$と表す。
また、${\vec {0}}$ は、全てのベクトルに対して垂直と定める。

この時、${\vec {a}},{\vec {b}}$ の内積は、${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos {90^{\circ }}=0$ となる。
これは、${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ ならば、${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$ といえる。
つまり、${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ である。

また、成分表示された2つのベクトル${\vec {a}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\,{\vec {b}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$が垂直である時、
${\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}\cdot {\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}=0\,\Longleftrightarrow \,a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0$ が成り立つ。

ベクトルの垂直条件

${\vec {a}}\neq {\vec {0}},\,{\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ であり、${\vec {a}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\,{\vec {b}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$ とする。
${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\,\Longleftrightarrow \,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0\,\Longleftrightarrow \,a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0$

例題1. 内分点と外分点の座標

原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。

内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m+n}}\\&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m+n}}{\overrightarrow {OB}}\end{aligned}}$
上式に、${\overrightarrow {OA}}={\binom {a_{x}}{a_{y}}},\quad {\overrightarrow {OB}}={\binom {b_{x}}{b_{y}}}$を用いると次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {n}{m+n}}{\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}+{\frac {m}{m+n}}{\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}\\&={\frac {1}{m+n}}{\dbinom {na_{x}}{na_{y}}}+{\frac {1}{m+n}}{\dbinom {mb_{x}}{mb_{y}}}\\&={\frac {1}{m+n}}{\dbinom {na_{x}+mb_{x}}{na_{y}+mb_{y}}}\end{aligned}}$
したがって、点Xの座標は${\boldsymbol {\left({\frac {na_{x}+mb_{x}}{m+n}},\quad {\frac {na_{y}+mb_{y}}{m+n}}\right)}}$となる。

また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OY}}&={\frac {-n{\overrightarrow {OA}}+m{\overrightarrow {OB}}}{m-n}}\\&={\frac {-n}{m-n}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {OB}}\end{aligned}}$
これに、${\overrightarrow {OA}}={\dbinom {a_{x}}{a_{y}}},\quad {\overrightarrow {OB}}={\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}$を用いると次式となる。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {OX}}&={\frac {-n}{m-n}}{\dbinom {a_{x}}{a_{y}}}+{\frac {m}{m-n}}{\dbinom {b_{x}}{b_{y}}}\\&={\frac {1}{m-n}}{\dbinom {-na_{x}}{-na_{y}}}+{\frac {1}{m-n}}{\dbinom {mb_{x}}{mb_{y}}}\\&={\frac {1}{m-n}}{\dbinom {-na_{x}+mb_{x}}{-na_{y}+mb_{y}}}\end{aligned}}$
したがって、点Yの座標は、${\boldsymbol {\left({\frac {-na_{x}+mb_{x}}{m-n}},\quad {\frac {-na_{y}+mb_{y}}{m-n}}\right)}}$ となる。

例題2. 3点が一直線上にある条件

△ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。

${\overrightarrow {AB}}={\vec {b}},\quad {\overrightarrow {AC}}={\vec {c}}$ とおくと、${\overrightarrow {AQ}}={\frac {-{\vec {b}}+3{\vec {c}}}{3-1}}={\frac {-{\vec {b}}+3{\vec {c}}}{2}}$ と表すことができる。

したがって、
${\begin{aligned}{\overrightarrow {PQ}}&={\overrightarrow {AQ}}-{\overrightarrow {AP}}=-{\frac {5}{6}}{\vec {b}}+{\frac {3}{2}}{\vec {c}}\\{\overrightarrow {PR}}&={\overrightarrow {AR}}-{\overrightarrow {AP}}=-{\frac {1}{3}}{\vec {b}}+{\frac {3}{5}}{\vec {c}}\end{aligned}}$

以上より、${\overrightarrow {PR}}={\frac {2}{5}}{\overrightarrow {PQ}}$ であり、P、Q、Rは同一直線上にある。

例題3. 重心の位置ベクトル

重心の定義

三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線(中線)は1点で交わり、その交点を三角形の重心という。
重心は、3つの中線それぞれを2:1に内分する。

△ABCの重心をGとする。

1. ${\overrightarrow {AG}}$ を ${\overrightarrow {AB}}$ と ${\overrightarrow {AC}}$ を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、$A({\vec {a}}),B({\vec {b}}),C({\vec {c}})$ となるとき、重心の位置ベクトル$G({\vec {g}})$ を ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ で表せ。

• 1の解答

辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より$BM:CM=1:1$ であるから、${\overrightarrow {AM}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AC}}$ となる。
また、重心の性質より、$AG:GM=2:1$ であるから、次式が求められる。

${\begin{aligned}{\overrightarrow {AG}}&={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {AM}}\\&={\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AC}}\right)\\&={\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AC}}\end{aligned}}$

したがって、${\overrightarrow {AG}}={\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AB}}+{\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AC}}$ となる。

• 2の解答

${\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AG}}$ であるから、次式が求められる。

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OG}}&={\vec {a}}+{\overrightarrow {AG}}\\&={\vec {a}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {AC}}\qquad \because {\overrightarrow {AG}}={\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AB}}+{\boldsymbol {\frac {1}{3}}}{\overrightarrow {AC}}\\&={\vec {a}}+{\frac {1}{3}}\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\vec {c}}-{\vec {a}}\right)\\&={\frac {1}{3}}{\vec {a}}+{\frac {1}{3}}{\vec {b}}+{\frac {1}{3}}{\vec {c}}\end{aligned}}$

例題4. 外心の位置ベクトル

$AB=3,BC=7,CA=5$ である△ABCがある。

${\overrightarrow {AB}}={\vec {b}},\,{\overrightarrow {AC}}={\vec {c}},\,\triangle ABC{\mbox{の 外 心 を O }}$ とする時、以下の問いに答えよ。

1. ${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$ を求めよ。
2. ${\overrightarrow {AO}}$ を ${\vec {b}}$ と ${\vec {c}}$ を用いて表せ。

• 1の解答

$\triangle ABC$ に $\angle A$ から余弦定理を用いる。
余弦定理 : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos {\theta }$
ベクトルの内積 : ${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos {\theta }=|{\overrightarrow {AB}}||{\overrightarrow {AC}}|\cos {\theta }$

${\begin{aligned}|{\overrightarrow {AB}}||{\overrightarrow {AC}}|\cos {\theta }&={\frac {AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2}}\\&={\frac {9+25-49}{2}}\\&=-{\frac {15}{2}}\end{aligned}}$

したがって、${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=|{\overrightarrow {AB}}||{\overrightarrow {AC}}|\cos {\theta }={\boldsymbol {-{\frac {15}{2}}}}$

• 2の解答

${\overrightarrow {AO}}=x{\vec {b}}+y{\vec {c}}$ とおく。${\overrightarrow {DO}}$ と ${\overrightarrow {AB}}$ は直交するため、
${\overrightarrow {DO}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0$
$\Leftrightarrow \left({\overrightarrow {AO}}-{\overrightarrow {AD}}\right)\cdot {\overrightarrow {AB}}=0$
$\Leftrightarrow \left(x{\vec {b}}+y{\vec {c}}-{\frac {1}{2}}{\vec {b}}\right)\cdot {\vec {b}}=0$
$\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{2}}\right)\left|{\vec {b}}\right|^{2}+y{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0$
$\Leftrightarrow 9\left(x-{\frac {1}{2}}\right)+y{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0$
$\Leftrightarrow 9\left(x-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {15}{2}}y=0$
$\Leftrightarrow 18x-15y=9$
$\Leftrightarrow 6x-5y=3\qquad (1)$

また、${\overrightarrow {EO}}$ と ${\overrightarrow {AC}}$ は直交するため、
${\overrightarrow {\text{EO}}}\cdot {\overrightarrow {\text{AC}}}=0$
$\Leftrightarrow \left({\overrightarrow {AO}}-{\overrightarrow {AE}}\right)\cdot {\overrightarrow {AC}}=0$
$\Leftrightarrow \left(x{\vec {b}}+y{\vec {c}}-{\frac {1}{2}}{\vec {c}}\right)\cdot {\vec {c}}=0$
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{c} \right|^2 = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow - 15x + 50y = 25}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow - 3x + 10y = 5 \qquad (2)}

式(1)，(2)を連立すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{cases} 6x - 5y &= 3 \\ -3x + 10y &= 5 \end{cases} \quad \mbox{よ り } \quad \begin{cases} x &= \frac{11}{9} \\ y &= \frac{13}{15} \\ \end{cases} }

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\overrightarrow{AO} = \frac{11}{9} \vec{b} + \frac{13}{15} \vec{c}}} となる。

例題5. 内心の位置ベクトル

内心の定義

三角形の3つの内角の二等分線は、1点で交わる。この交点を、内心という。
内心は、3つの辺から等距離にあり、内心を中心として、△ABCに接する円を描くことができる。この円を、三角形の内接円という。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AB = c, BC = a, CA = b}
 である△ABCの内心をIとする。

1. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AI}}
 を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}
 と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}}
 を用いて表せ。
2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})}
 となる時、内心の位置ベクトル構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle I(\vec{i})}
 を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}
 で表せ。

• 1の解答

直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle{BAD} = \angle{CAD}} である。
角の二等分線の定理より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle BD:DC=c:b} となるから、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}} は次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AD} = \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{BD} = \frac{c}{b + c} \times a = \frac{ac}{b + c}}

また、内心の定義より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle{ABI} = \angle{DBI}} である。
角の二等分線の定理より、次式となる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AI : ID = AB : BD}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c : \frac{ac}{b + c} = b + c : a}

上式より、次式が求まる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{AI} &= \frac{AI}{AD} \overrightarrow{AD} \\ &= \frac{b + c}{a + b + c} \times \left( \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC} \right) \\ &= \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \end{align} }

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}}} となる。

• 2の解答

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}} であるから、次式が求められる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \overrightarrow{OI} &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{ c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \\ &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \qquad \because \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} \\ &= \frac{a + b + c}{a + b + c} \, \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \\ &= \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b} + \frac{c}{a + b + c} \vec{c} \end{align} }

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}} となる。

例題6. 垂心の位置ベクトル

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle AB = 5, \, BC = 6, \, CA = 4}
 である 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \triangle ABC}
 がある。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \, \mbox{の 垂 心 を } H}
 とする時、以下の問いに答えよ。

1. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c}}
 を求めよ。
2. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AH}}
 を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b}}
 と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{c}}
 を用いて表せ。

• 1の解答

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \triangle ABC} に 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle A} から余弦定理を用いる。
余弦定理 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \, AB \, AC \, \cos{\theta}}
ベクトルの内積 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\ &= \frac{25 + 16 - 36}{2} \\ &= - \frac{5}{2} \end{align} }

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}}

• 2の解答

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AH} = x \vec{b} + y \vec{c}} とおく。構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{CH}} と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} は直交するため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{c} \right) \cdot \vec{b} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow x \left| \vec{b} \right|^2 + (y - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow 25x + (y - 1) \frac{5}{2} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow 25x + \frac{5}{2} y = \frac{5}{2}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow 10x + y = 1 \qquad (1)}

また、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{BH}} と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{AC}} は直交するため、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \left(x \vec{b} + y \vec{c} - \vec{b} \right) \cdot \vec{c} = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow (x - 1) \vec{b} \cdot \vec{c} + y \left| \vec{c} \right|^2 = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow (x - 1) \frac{5}{2} + 16y = 0}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow \frac{5}{2}x + 16y = \frac{5}{2}}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Leftrightarrow 5x + 32y = 5 \qquad (2)}

式(1)，(2)を連立すると、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{cases} 10x + y &= 1 \\ 5x + 32y &= 5 \end{cases} \quad \mbox{よ り } \quad \begin{cases} x &= \frac{3}{35} \\ y &= \frac{1}{7} \\ \end{cases} }

したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \boldsymbol{\overrightarrow{AH} = \frac{3}{35} \vec{b} + \frac{1}{7} \vec{c}}} となる。