極値

概要

微分の分野では、関数が極値を持つかどうかという問題をよく考える。
ここでは、極値を持つ条件とその注意点を記載する。

1変数関数の極値

極値の見つけ方

(微分可能な)関数$f(x)$が$x=a$で極値を取るならば、${\frac {df(a)}{dx}}=0$である。
対偶を取れば、${\frac {df(a)}{dx}}\neq 0$となる点は、必ずしも極値ではない。

${\frac {df(a)}{dx}}=0$はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。

例えば、$f(x)=x^{3}$の導関数は、${\frac {df(x)}{dx}}=3x^{2}$である。
${\frac {df(x)}{dx}}=0$を解くと、$x=0$が極値点の候補として見つかるが、$f(x)=x^{3}$において$x=0$は極値点ではない。

これは、$x=\pm {\frac {1}{10}}$という点を考える時、$-{\frac {1}{10^{3}}}<f(0)<{\frac {1}{10^{3}}}$という関係が成り立つが、$f(0)$よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、$x=0$の近くにある。
0のどんなに近くにも$f(0)$より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。

極値の判定条件

2階微分できる関数$f(x)$が存在する時、${\frac {df(a)}{dx}}=0$かつ$x=a$の前後で${\frac {df(x)}{dx}}$の符号が変化するならば、関数$f(x)$は、$x=a$で極値をとる。

さらに、以下のように判定することができる。

• ${\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}>0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極小値をとる。
• ${\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}<0$ならば、$f(x)$は$x=a$で極大値をとる。

ただし、上記の判定方法には欠点があり、${\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}=0$の時の判定ができない。
$f(x)=x^{3}$においては、${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}=6x,\quad {\frac {d^{2}f(0)}{dx^{2}}}=0$となるが、$x=0$は極値ではない。

例えば、$f(x)=x^{3}+ax^{2}+2x+1$が極値を持つようなaの範囲を求める場合、
ポイントとして、極値となる候補を見つけて、その点の前後で${\frac {df(a)}{dx}}$の符号が変化するならば、それが極値となる。

上式をxで微分して、${\frac {df(x)}{dx}}=3x^{2}+2ax+2=0$を解く。
解の公式を使用すると、$x={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-6}}}{3}}$となる。

この時、${\frac {df(x)}{dx}}=0$が、aの値に応じていくつ解を持つか、および、その時の符号の変化がどうなるか、ということがポイントとなる。
判別式$D=a^{2}-6$の符号が重要であるため、場合分けして考える。

• $D>0$の時、${\frac {df(x)}{dx}}=0$は2つの実数解を持ち、${\frac {df(x)}{dx}}$はその前後で符号が変化する。
  すなわち、その2つの解は極値となる。
• $D=0$の時、${\frac {df(x)}{dx}}=0$は重解を持ち、${\frac {df(x)}{dx}}$はその前後で符号が正である。
  すなわち、その点は極値ではない。
• $D<0$の時、${\frac {df(x)}{dx}}=0$は実数解を持たず、常に${\frac {df(x)}{dx}}>0$となる。
  すなわち、極値を持たない。

上記の場合分けより、$D>0$の時のみ極値を持つ。
$a^{2}-6>0$を解けば、$a<\pm {\sqrt {6}}$となり、$-{\sqrt {6}}<a<{\sqrt {6}}$の時、$f(x)$は極値を持つ。
また、極値を持たないaの範囲は、$D\leq 0$の時であり、範囲は$-{\sqrt {6}}\leq a\leq {\sqrt {6}}$となる。

一般的に、3次関数については以下のような性質が成り立つ。
$f(x)$を3次関数とする時、${\frac {df(x)}{dx}}$は2次関数となる。2次方程式${\frac {df(x)}{dx}}=0$の判別式をDとする時、

• $f(x)$が極値を持つことと、$D>0$は同値である。
• $f(x)$が極値を持たないことと、$D\leq 0$は同値である。