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== 概要 == | == 概要 == | ||
回路の受動素子（抵抗R、コイルL、コンデンサC）が直列接続または並列接続されている場合の合成インピーダンスの計算手順を記載する。<br> | |||
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RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | RC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | ||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 6.png|フレームなし|中央]] | [[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 6.png|フレームなし|中央]] | ||
<center>図. | <center>図.2 抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路</center><br> | ||
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直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | 直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | ||
| 62行目: | 62行目: | ||
== LC直列回路の合成インピーダンス == | == LC直列回路の合成インピーダンス == | ||
LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | LC直列回路は、抵抗RとコンデンサCが直列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | ||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance | [[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 7.png|フレームなし|中央]] | ||
<center>図. | <center>図.3 コイルLとコンデンサCが直列接続の回路</center><br> | ||
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直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | 直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、それぞれのインピーダンスを加算することにより求められる。<br> | ||
| 110行目: | 110行目: | ||
== RLC直列回路の合成インピーダンス == | == RLC直列回路の合成インピーダンス == | ||
RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | ||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 8.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが直列接続の回路</center><br> | <center>図.4 抵抗R、コイルL、コンデンサCが直列接続の回路</center><br> | ||
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| 131行目: | 131行目: | ||
RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。<br> | RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きは、複素数平面の右上(第1象限)または右下(第4象限)または実数軸上となる。<br> | ||
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RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の虚部(\omega L - \frac{1}{\omega C})が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br> | RLC直列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>は、上式の虚部(<math>\omega L - \frac{1}{\omega C}</math>)が正・負・ゼロの時、それぞれ<math>\dot{Z}</math>のベクトルの向きが変わる。<br> | ||
したがって、<math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} < 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br> | したがって、<math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} < 0, \quad \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0</math>の時で、場合分けして考える必要がある。<br> | ||
* <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0</math> の場合 | * <math>\omega L - \frac{1}{\omega C} > 0</math> の場合 | ||
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RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | RLC並列回路は、抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列に接続された回路で、下図のような回路になる。<br> | ||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 4.png|フレームなし|中央]] | [[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 4.png|フレームなし|中央]] | ||
<center>図. | <center>図.8 抵抗R、コイルL、コンデンサCが並列接続の回路</center><br> | ||
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並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br> | 並列回路の合成インピーダンス<math>\dot{Z}</math>を求める場合、<br> | ||
| 333行目: | 333行目: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
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== 例題 == | |||
==== 例題 1 ==== | |||
下図のようなRL回路がある時、抵抗に掛かる電圧を求める。<br> | |||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 9.png|フレームなし|中央]] | |||
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回路のインピーダンス<math>\dot{Z}</math>とインピーダンスの大きさ<math>|Z|</math>は、次式となる。<br> | |||
<math>\dot{Z} = R + j \omega L = 15 + j20</math><br> | |||
<math>|Z| = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25 \, [\Omega]</math><br> | |||
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全体に流れる電流Iの大きさ<math>|I|</math>は、次式となる。<br> | |||
<math>|I| = \frac{|V|}{|Z|} = \frac{100}{25} = 4 \, [ \mbox{A} ]</math><br> | |||
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したがって、抵抗に掛かる電圧<math>\dot{V_{R}}</math>は、次のようになる。<br> | |||
<math>\dot{V_{R}} = |I| \times R = 4 \times 15 = 60 \, [\mbox{V}]</math>となる。<br> | |||
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インダクタに掛かる電圧<math>\dot{V_{L}}</math>は、次のようになる。<br> | |||
<math>\dot{V_{L}} = |I| \times j \omega L = 4 \times j20 = j80 \, [\mbox{V}]</math>となる。<br> | |||
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電圧<math>\dot{V}</math>および電圧の大きさ<math>|V|</math>を求める場合は、次式のように計算する。<br> | |||
<math>\dot{V} = 60 + j80</math> より、<br> | |||
<math>|V| = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100 \, [\mbox{V}]</math> となる。<br> | |||
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==== 例題 2 ==== | |||
下図のような回路がある時、各抵抗、インダクタ、コンデンサに掛かる電圧を求める。<br> | |||
[[ファイル:CircuitCalc Synthetic Impedance 10.png|フレームなし|中央]] | |||
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電流I<sub>1</sub>より、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{V_{R1}} &= |I_1| \times R_1 = 20 \times 4 = 80 \, [\mbox{V}] \\ | |||
\dot{V_{L}} &= |I_1| \times j \omega L = 20 \times j3 = j60 \, [\mbox{V}] \\ | |||
|E| &= |V_1| = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100 \, [\mbox{V}] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
電流I<sub>2</sub>は、電源電圧100[V]と抵抗R<sub>2</sub>およびコンデンサCのインピーダンスZ<sub>2</sub>より、10[A]となる。<br> | |||
<math>|I_2| = \frac{|E|}{|Z_2|} = \frac{100}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 10 \, [\mbox{A}]</math><br> | |||
<br> | |||
回路に流れる全電流Iは、電源電圧Eから回路全体のインピーダンスZを除算することにより、求めることができる。<br> | |||
<math>\dot{Y_1} = \frac{1}{4 + j3}, \quad \dot{Y_2} = \frac{1}{6 - j8}</math><br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dot{Z} &= \frac{1}{\dot{Y}} \\ | |||
&= \frac{1}{\dot{Y_1} + \dot{Y_2}} \\ | |||
&= \frac{1}{\frac{1}{4 + j3} + \frac{1}{6 - j8}} = \frac{(4 + j3)(6 - j8)}{4 + j3 + 6 - j8} = \frac{48 - j14}{10 - j5} \\ | |||
&= \frac{(48 - j14)(10 + j5)}{125} = \frac{550 + j100}{125} = \frac{22 + j4}{5} \\ | |||
&= \frac{22}{5} + j \frac{4}{5} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、インピーダンス <math>\dot{Z}</math> の大きさは、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\left | Z \right | &= \sqrt{\left ( \frac{22}{5} \right)^2 + \left ( \frac{4}{5} \right )^2} \\ | |||
&= \dfrac{1}{5} \sqrt{22^2 + 4^2} \\ | |||
&= \dfrac{1}{5} \sqrt{500} \\ | |||
&= 2 \sqrt{5} \\ | |||
& \cong 4.47 \, [\Omega] | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math>|I| = \frac{|E|}{|Z|} = \frac{100}{4.47} \cong 22.37 \, [\mbox{A}]</math> となる。<br> | |||
<br> | |||
または、次式のように求めることもできる。<br> | |||
<math>|I| = \sqrt{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}} = \sqrt{20^2 + 10^2} = 10 \sqrt{5} \, [\mbox{A}]</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
[[カテゴリ:回路計算]] | [[カテゴリ:回路計算]] | ||