極値のソースを表示

== 概要 ==
微分の分野では、関数が極値を持つかどうかという問題をよく考える。<br>
ここでは、極値を持つ条件とその注意点を記載する。<br>
<br><br>

== 1変数関数の極値 ==
==== 極値の見つけ方 ====
(微分可能な)関数<math>f(x)</math>が<math>x = a</math>で極値を取るならば、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>である。<br>
対偶を取れば、<math>\frac{df(a)}{dx} \ne 0</math>となる点は、必ずしも極値ではない。<br>
<br>
<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。<br>
<br>
例えば、<math>f(x) = x^3</math>の導関数は、<math>\frac{df(x)}{dx} = 3x^2</math>である。<br>
<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>を解くと、<math>x = 0</math>が極値点の候補として見つかるが、<math>f(x) = x^3</math>において<math>x = 0</math>は極値点ではない。<br>
<br>
これは、<math>x = \pm \frac{1}{10}</math>という点を考える時、<math>- \frac{1}{10^3} < f(0) < \frac{1}{10^3}</math>という関係が成り立つが、<math>f(0)</math>よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、<math>x = 0</math>の近くにある。<br>
0のどんなに近くにも<math>f(0)</math>より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。<br>
<br>
==== 極値の判定条件 ====
2階微分できる関数<math>f(x)</math>が存在する時、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>かつ<math>x = a</math>の前後で<math>\frac{df(x)}{dx}</math>の符号が変化するならば、関数<math>f(x)</math>は、<math>x = a</math>で極値をとる。<br>
<br>
さらに、以下のように判定することができる。<br>
* <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} > 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極小値をとる。
* <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} < 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極大値をとる。
<br>
ただし、上記の判定方法には欠点があり、<math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} = 0</math>の時の判定ができない。<br>
<math>f(x) = x^3</math>においては、<math>\frac{d^2 f(x)}{dx^2} = 6x, \quad \frac{d^2 f(0)}{dx^2} = 0</math>となるが、<math>x = 0</math>は極値ではない。<br>
<br>
例えば、<math>f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + 1</math>が極値を持つようなaの範囲を求める場合、<br>
ポイントとして、極値となる候補を見つけて、その点の前後で<math>\frac{df(a)}{dx}</math>の符号が変化するならば、それが極値となる。<br>
<br>
上式をxで微分して、<math>\frac{df(x)}{dx} = 3x^2 + 2ax + 2 = 0</math>を解く。<br>
解の公式を使用すると、<math>x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 -6}}{3}</math>となる。<br>
<br>
この時、<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>が、aの値に応じていくつ解を持つか、および、その時の符号の変化がどうなるか、ということがポイントとなる。<br>
判別式<math>D = a^2 - 6</math>の符号が重要であるため、場合分けして考える。<br>
* <math>D > 0</math>の時、<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>は2つの実数解を持ち、<math>\frac{df(x)}{dx}</math>はその前後で符号が変化する。<br>すなわち、その2つの解は極値となる。
* <math>D = 0</math>の時、<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>は重解を持ち、<math>\frac{df(x)}{dx}</math>はその前後で符号が正である。<br>すなわち、その点は極値ではない。
* <math>D < 0</math>の時、<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>は実数解を持たず、常に<math>\frac{df(x)}{dx} > 0</math>となる。<br>すなわち、極値を持たない。
<br>
上記の場合分けより、<math>D > 0</math>の時のみ極値を持つ。<br>
<math>a^2 - 6 > 0</math>を解けば、<math>a < \pm \sqrt{6}</math>となり、<math>- \sqrt{6} < a < \sqrt{6}</math>の時、<math>f(x)</math>は極値を持つ。<br>
また、極値を持たないaの範囲は、<math>D \le 0</math>の時であり、範囲は<math>- \sqrt{6} \le a \le \sqrt{6}</math>となる。<br>
<br>
一般的に、3次関数については以下のような性質が成り立つ。<br>
<math>f(x)</math>を3次関数とする時、<math>\frac{df(x)}{dx}</math>は2次関数となる。2次方程式<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>の判別式をDとする時、<br>
* <math>f(x)</math>が極値を持つことと、<math>D > 0</math>は同値である。
* <math>f(x)</math>が極値を持たないことと、<math>D \le 0</math>は同値である。
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]